在數學中，賦范向量空間是具有“長度”概念的向量空間。是通常的歐幾里德空間Rn的推廣。Rn中的長度被更抽象的範數替代。“長度”概念的特徵是：
零向量的長度是零，並且任意向量的長度是非負實數。
一個向量v乘以一個標量a時，長度應變為原向量v的|a|（a的絕對值）倍。
三角不等式成立。也就是說，對於兩個向量v和u，它們的長度和（“三角形”的兩邊）大於v+u（第三邊）的長度。
一個把向量映射到非負實數的函式如果滿足以上性質，就叫做一個半範數；如果只有零向量的函式值是零，那么叫做範數。擁有一個範數的向量空間叫做賦范向量空間，擁有半範數的叫做半賦范向量空間。
基本簡介
一個半賦范向量空間（E,p）由一個向量空間E以及一個E上的半範數p構成。
一個賦范向量空間（E,||•||）由一個向量空間E以及一個E上的範數||•||構成。
拓撲結構
設（E,||•||）是一個賦范向量空間，那么由範數||•||很自然地定義了一個拓撲上的距離：
由此就定義了一個E上的拓撲結構，稱為範數||•||誘導的自然拓撲。這也是使得函式||•||連續的最弱的拓撲。此外，這個自然拓撲和向量空間的線性結構相容，因為：
向量加法：+在此拓撲下是連續的，這可以由範數的三角不等式性質得出。
向量的數量乘法•在此拓撲下是連續的，這也可由範數的線性性和三角不等式性質得出。
對於半賦范向量空間，可以定義類似的函式，這時E成為一個半度量空間（弱於度量空間）。在其中我們也可以定義連續和收斂等概念。更抽象地說，每個半賦范向量空間都是一個拓撲空間，其拓撲結構由它的半範數誘導。
在賦范向量空間中，完備的賦范向量空間特別重要，稱為巴拿赫空間。每個賦范向量空間都是一個巴拿赫空間的稠密子空間，這個巴拿赫空間由此賦范向量空間唯一確定，稱為它的完備空間。
在拓撲的角度來說，有限維的向量空間上的任意兩個範數都是等價的，即它們誘導出相同的拓撲結構（儘管由它們各自定義的度量空間並不相同）。由於歐幾里德空間是完備的，我們可以推出每個有限維的賦范向量空間都是巴拿赫空間。實際上對自然拓撲來說，任意有限維的賦范向量空間都同胚於歐幾里德空間Rn。
一個賦范向量空間被稱為局部緊緻的，如果單位球是緊集。由里斯引理（en:Riesz'slemma）可知，一個賦范向量空間局部緊緻若且唯若它的維數有限。實際上，這個定理證明了對任意的拓撲空間（不一定是由範數誘導的度量空間）都有這個結論。
線性變換和對偶空間
在賦范向量空間之間的線性變換中，最重要的是連續線性變換，賦范向量空間和連續線性變換一起構成一個範疇。
範數自身，作為函式，是連續的。任意兩個有限維的賦范向量空間之間的線性變換也都是連續的。
兩個賦范向量空間之間的一個等距變換f是指使得對任意向量v都有||f(v)||=||v||的線性變換。保距變換總是連續的單射。如果兩個賦范向量空間之間的一個等距變換是滿射，那么稱其為一個等距同構。兩個保距同構的賦范向量空間在拓撲的意義上可以說是相等的（擁有相同的性質；在一者中成立的命題，在另一者中也成立）。
對於在域K上的賦范向量空間（E,||•||），我們可以考慮它關於||•||的對偶空間E*，也就是所有從E射到K的連續線性變換（一般稱為“函子”）構成的空間。對於一個函子φ，定義它的範數是|φ(v)|的上確界，其中v是E中範數為1的所有向量。由於函子是連續的，這個上確界存在。這樣我們就將E*定義成為一個賦范向量空間。關於賦范向量空間上的連續線性函子有哈恩-巴拿赫定理（en:Hahn–Banachtheorem）。
商空間
很多賦范向量空間（特別是巴拿赫空間）的定義涉及到空間上定義的半範數。賦范向量空間可以定義為一個空間關於半範數為零的元素的商空間。比如說，對於Lp空間的定義，考慮所有函式組成的空間上的函式：
是一個半範數，它對所有能使式子右邊勒貝格可積的函式有定義。然而，對於任意定義在勒貝格測度為0的支撐上的函式，其半範數皆為0。在“除掉”這些函式（將它們歸為0函式的等價類）之後，得到的商空間就是一個賦范向量空間：lp空間。
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