穩定子群:穩定子群亦稱穩定化子。一種特殊的子群。設群G作用在集合X上，x -百科知識中文網

群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G；

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c)；

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

子群

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{H|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有H的交H是G的一個子群。

穩定子群的概念

穩定子群置換群內的一種特殊子群。置換群G中把某點α保持不動的全體元素組成的子群。它記為G，稱為α在G內的穩定子群。若β是G中另外一個點，而G中有元素g使α=β，則。所以同一軌道內的各點有相互共軛的穩定子群。若Δ={α，α，…，α}為G的軌道，取x∈G (i=1，2，…，r)，使α=α，則陪集Gx就是G中把α變成α的全部元素所成的子集。於是，Δ中的元素和G在G內的各陪集之間可以建立一一對應。因此Δ的長度r就是G在G內的指數。

穩定子群的概念還可以推廣。設Δ是Ω的一個子集合，可自然地得到兩個子群。第一個子群由G中那些把Δ中每個元素都不變的元素組成，這個子群稱為子集Δ的點不變穩定子群。第二個子群由G中那些把Δ作為整體還變成Δ的元素組成，這個子群稱為Δ的集不變穩定子群，分別記為G和G。還有其他形式的穩定子群，給定一個置換群後，就可以自然地得到一系列子群。通過這些子群的研究常常使人們可以了解所給置換群的構造，這是研究置換群的一個方便之處。