群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合,a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”,運算結果稱為“乘積”)滿足:
(1)封閉性,a·b∈G;
(2)結合律,即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b,在G中存在惟一的元素x,y,使得a·x= b,y·a=b,則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如,所有不等於零的實數,關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法),構成一個群。
滿足交換律的群,稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一,已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱,就存在群。例如,可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質,來定義各種幾何學,即利用變換群對幾何學進行分類。可以說,不了解群,就不可能理解現代數學。
1770年,拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時,首先引入群的概念,而它的名稱,是伽羅華在1830年首先提出的。
子群
子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H,若對G的乘法也成為群,則稱H為G的子群,記為H≤G。若子群H≠G,則稱H為G的真子群,記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群,G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示),稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是:對任意的a,b∈H,恆有ab∈H。若{H|i∈I}是G的子群的集合,I是一個指標集,則所有H的交H是G的一個子群。
穩定子群的概念
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穩定子群置換群內的一種特殊子群。置換群G中把某點α保持不動的全體元素組成的子群。它記為G,稱為α在G內的穩定子群。若β是G中另外一個點,而G中有元素g使α=β,則。所以同一軌道內的各點有相互共軛的穩定子群。若Δ={α,α,…,α}為G的軌道,取x∈G (i=1,2,…,r),使α=α,則陪集Gx就是G中把α變成α的全部元素所成的子集。於是,Δ中的元素和G在G內的各陪集之間可以建立一一對應。因此Δ的長度r就是G在G內的指數。
穩定子群的概念還可以推廣。設Δ是Ω的一個子集合,可自然地得到兩個子群。第一個子群由G中那些把Δ中每個元素都不變的元素組成,這個子群稱為子集Δ的點不變穩定子群。第二個子群由G中那些把Δ作為整體還變成Δ的元素組成,這個子群稱為Δ的集不變穩定子群,分別記為G和G。還有其他形式的穩定子群,給定一個置換群後,就可以自然地得到一系列子群。通過這些子群的研究常常使人們可以了解所給置換群的構造,這是研究置換群的一個方便之處。
性質
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若集合,在上的二元運算(該運算稱為群的 乘法,其結果稱為 積)構成的代數結構,,滿足:
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1. 封閉性:即G的任意兩個元素在下的運算結果都是該集合的一個元素。(,)。
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2.結合律:,;
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3.單位元:中存在元素,使G中任一元素與之相乘(包括左乘和右乘)的結果都等於本身。(,使,有);
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4. 逆元:,,使得,稱為的逆元,記為。(逆元具有唯一性,即:由可以推出)
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則稱為一個 群,或 乘法群。
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有時由於上下文的原因,群上的二元運算亦可稱為 加法,此時該運算通常記為,群元素的運算也被記為如同的形式,而群也可被稱為 加法群。此種情況下,往往加法還有可交換的性質。
置換群
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定義為集合上所有雙射的集合,並定義合成映射,這裡是的任意元素。構成一個群,這個群被稱為置換群,記為或。
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例集合的三個元素置換群組成.
一般線性群
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定義為所有n階實可逆方陣的集合,乘法為矩陣乘法,則構成一個群。
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這個群稱為一般線性群,記為。
簡單例子
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例1在普通乘法下是群。
證:1)封閉性:1×1=1 (-1)×(-1)=1 (-1)×1=-1 1×(-1)=-1
2)結合律:成立
3)單位元:1
4)逆元素:1的逆元是1,-1的逆元是-1
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例2在mod n的加法下是群.
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證:1)封閉性:除以n的餘數只能是,故封閉性成立
2)結合律:成立
3)單位元:0
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4)逆元素:對任意元素a有,a的逆元