定義
給定一個群 G， G的交換子群或導群： [ G, G]、 G′或 G是 G的所有交
換子所生成的子群：
換位子群類似地可以定義高階的導群。
換位子群
換位子群n是整數
換位子群可以證明，如果存在自然數 n 使得 那么 G是可解群。
商群G/[G,G]是一個阿貝爾群，叫做 G的 阿貝爾化子群，通常記作 G。 G的阿貝爾化子群就是 G的一階同調群。
[G,G]=G的群叫做 完美群，這是與阿貝爾群相對的概念。完美群的阿貝爾化子群是單位群{e}。
性質
G'是G的正規子群。
G對於自同構穩定:。
如果H是G的子群，那么屬於G'。
是一個滿同態，那么。
如果H是G的正規子群，那么G/H是交換群，當且僅G'當屬於H'。
可交換。
1.G'是G的正規子群。
2.G對於自同構穩定:。
3.如果H是G的子群，那么屬於G'。
4.是一個滿同態，那么。
5.如果H是G的正規子群，那么G/H是交換群，當且僅G'當屬於H'。
6.可交換。
換位子群
換位子群
換位子群
換位子群
換位子群套用
•4次交替群的交換子群是克萊因四元群。
•n次對稱群的交換子群是n次交替群。
•四元群Q= {1, −1,i, −i,j, −j,k, −k} 的交換子群是 {1, −1}。
換位子群
換位子群
換位子群
換位子群