概念介紹
迷向群(group of isotropy)亦稱穩定群。拓撲群的一個子群。設M是拓撲空間，G是M的拓撲變換群，對M中點x，B={g∈G|g(x)=x}是G的閉子群，稱為G在x點的迷向群。對M中點x，稱G(x)={g(x)|g∈G}為G通過x的軌道。對M中兩個點x，y，若它們具有相同的軌道，則稱x與y關於G等價。兩個等價點的迷向群是同構的。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
子群
子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G.若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G.任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H.若{H|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有H的交H是G的一個子群。
閉子群
閉子群也叫做代數群，是指具有某種拓撲結構的群。代數群理論是群論與代數幾何學結合的產物，可以看成李群理論的推廣或者同李群理論平行的一個群論分支.若G是代數閉域K上的代數簇，又具有群的結構，且乘法運算G×G→G(這裡的“×”表示簇的扎里斯基(Zariski，O.)積)與求逆運算G→G都是簇的態射，則稱G為代數群。若G作為簇是不可約的，則稱此代數群是連通的。代數群的閉子簇若同時也是個子群，則稱為閉子群，它仍是個代數群。代數群關於它的正規閉子群的商群也是個代數群。例如，K上n級一般線性群(K上n級非奇異矩陣全體所成的群)GL(n，K)是代數群；K上n次特殊線性群(K上行列式1的n階矩陣全體所成的群)SL(n，K)是GL(n，K)的閉子群。若代數群G的簇結構是仿射的，則稱G為仿射代數群或線性代數群。採用後一術語的理由是，這種群都同構於某個GL(n，K)的閉子群。若G的簇結構是完備的，則稱G為阿貝爾簇。阿貝爾簇的群結構很簡單(都是阿貝爾群)，且被簇結構惟一決定，因此它的研究屬於代數幾何學的範疇。另一方面，對任意代數群G，總可以惟一地找到一個正規的仿射閉子群N，使G/N是阿貝爾簇.因此，代數群理論研究的主要是仿射的(即線性的)代數群，並把仿射代數群簡稱代數群.代數群及其表示理論與域論、多重線性代數、交換環論、代數幾何、李群、李代數、有限單群理論以及群表示理論等數學分支都有十分密切的聯繫，是近年來代數學的一個相當活躍的分支。
拓撲空間
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
拓撲群
拓撲群是指具有拓撲結構的群。設G既是群，又是拓撲空間，而且群的乘法及求逆運算都是連續映射，則稱G為拓撲群。例如，實數集R和複數集C，以及由它們作出的向量空間R，C對於通常的加法和距離拓撲都是拓撲群。設G，G都是拓撲群，φ是G到G的映射，若它既是群同態又是連續映射，則稱φ為連續同態，簡稱同態。全體拓撲群以及拓撲群間的同態，構成拓撲群範疇。拓撲群的概念來源於連續變換群。當同時考慮這種群中群的性質及取極限的運算時，就產生了拓撲群。李(Lie，M.S.)在討論微分方程解的分類問題時，發現了一類連續群，李對其進行了系統的研究，得到了日後以他名字命名的李群。李是拓撲群論的先驅者。
即賦以群的結構與滿足下列條件的 拓撲的集合G：
a)從G×G到G中的映射(x，y) ↦xy是連續的;
b)從G到G中的映射x↦x是連續的.
同樣，如果賦予集合A以環結構 和滿足下列條件的拓撲：
a)從A×A到A中的映射(x， y)↦x+y與(x， y)↦xy都是連續 的;
b)從A到A中的映射x↦-x 是連續的.
則稱A為拓撲環。
最後，當集合K被賦予體的結構 和使K成為拓撲環且K的乘法群 成為拓撲群的拓撲時，稱K為拓撲體。
