概念
設E與E′為兩個群胚。稱E′是E的子群胚，如果E′是E的子集，且從E′到E中的典範單射是群胚同態。
群胚是一個集合與這個集合上的一個合成法則所組成的偶。
從集合E的子集P到E中的映射稱為典範單射，如果其圖形是P×P的對角線。因之，從P到E中的典範單射使P的任一元素x對應於作為E的元素的x本身。
子么半群，子群，子環，子體，子向量空間，子代數及酉子代數的定義是類似的。
設E為群胚，而E′為E的子集。如果E′是E的子群胚，則子集E′對E上的合成法則是穩定的，且群胚E′上的合成法則正好是由E的法則誘導出的法則。反之，如果E′是E的穩定子集，則由E的法則誘導出的E′的法則在E′上定義一個群胚結構。賦以這一結構，E′是E的子群胚。所以稱群胚E的穩定子集E′是E的子群胚，這意味著賦予E′以E的法則所誘導出的法則。
子群
子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{H|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有H的交H是G的一個子群。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群；時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
