穩定分布:穩定分布是一類無窮可分分布，稱隨機變數X的機率分布為穩定的，如 -百科知識中文網

穩定分布的定義

穩定分布有多種等價的定義方式，這裡根據穩定性(Stability Property)、吸引域(Domain of Attraction)和特徵函式(Characteristic Function)給出穩定分布的三種定義。

穩定性定義

如果對於任意正數A和B，存在正數C和一個實數D∈ R，使得

成立，則稱隨機變數X是一個穩定分布。其中，隨機變數和是的獨立樣本：符號“”表示分布相同。如果X和-X具有相同的分布，則稱穩定隨機變數為對稱穩定的。如果當D=0時式(1)仍成立，則稱為嚴格穩定的。

此定義表明，穩定隨機變數的加法是封閉的，而且其機率密度函式的卷積也是封閉的。若是相互獨立的穩定隨機變數，並且具有相同的參數，則其線性組合也服從穩定分布，並且具有相同的參數。

定理1 如果對任意穩定隨機變數X，總均存在數使得C滿足

則稱為穩定變數，其中稱為特徵指數(Characteristic Exponent)或穩定係數(Indexof Stability)。

吸引域定義

如果隨機變數存在一個吸收域，即存在一個獨立同分布的隨機變數序列以及序列使得

則稱隨機變數X是一個穩定分布。此定義也稱廣義中心極限定理，其中“”表示依分布收斂。特別地，如果滿足獨立同分布且具有有限方差，則高斯分布是其極限分布，式(3)便成為中心極限定理的原始表述。

特徵函式定義

穩定分布並不存在統一、封閉的機率密度函式(Probability Density Functions，PDF)解析表達式，但它存在統一的特徵函式(Characteristic Function，CF)。特徵函式是表示穩定分布最方便的方法，若隨機變數X服從穩定分布規律，若且唯若其特徵函式滿足

式中：為符號函式。可見，穩定分布的特徵函式完全由4個參數唯一確定。符合特徵函式式(4)的4個參數稱為標準參數系S，並記為。

(1)稱為特徵指數（Characteristic Exponent），它決定了穩定分布的機率密度函式拖尾厚度。它的值越小，分布的拖尾也就越厚，所以分布的衝擊性越強，即偏離中值的樣本個數越多：隨著值的不斷增大，分布的拖尾將變淺，衝擊強度降低，如圖1和圖2所示。特別說明，穩定分布當=2時退化為高斯(Gauss)分布，當=1並且時為柯西(Cauchy)分布，為此我們定義0<<2為分數低階穩定分布，以區別於=2的高斯分布。

(2) γ為尺度參數(Scale parameter)或分散係數(Dispersion)，它是關於分布樣本偏離其均值的一種度量，其意義類似於高斯分布時的方差。實際上，在高斯分布情況下γ為方差的兩倍。

(3) β為偏斜參數(Skewness parameter)，它決定了分布的對稱程度。當β=0時，該分布是對稱的，通常稱為對稱α穩定(Symmetric α-Stable，SaS)分布。高斯分布和柯西分布都屬於對稱α穩定分布，β>0和好β<0分別對應分布的左偏和右偏。