矩陣代數式簡介
根據矩陣的性質，矩陣代數式的使用範圍不同。例如相似矩陣代數式只能在相似矩陣之間使用。對等價，相似，契約矩陣代數式，加單位矩陣（或者常量矩陣），不改變矩陣性質，等式仍然成立。矩陣等式“除法”用兩端乘以逆矩陣實現，要求矩陣（因式）可逆 。
相似矩陣代數式
矩陣的相似變換（兩端）定義式：
若A ~ B，則(P^-1)AP=B
推理：矩陣A的複合表示形式的相似變換：
1、線性計算式：(P^-1)AP=P^(-1)(lB+kC)P=l(P^-1)BP+k(P^-1)CP
2、矩陣乘法式：(P^-1)AP=(P^-1)BCP=((P^-1)BP)((P^-1)CP)
說明：相似變換符合對矩陣線性計算與乘法的分配律
定理 相似矩陣的性質
1、數量性
①det(P^-1)AP=det(P^-1)*detP*detA=detB∴detA=detB
② |λE-A|=|λE-B|
③ 相似矩陣的特徵值相同
④相似矩陣的跡相同（=∑λi用在對角矩陣的全部特徵值)
2、秩
⑤相似矩陣（等價）的秩相同。
3、伴隨矩陣集：
⑥A^-1 ~ B^-1
⑦A^T ~ B^T
4、矩陣計算
⑧與常量矩陣加法運算的相似不變性
任給實數t， tE-A ~ tE-B
⑨冪的相似不變性 A^k ~ B^k
5、構造分塊矩陣
⑩兩對相似矩陣可分別構造兩個對角線分塊矩陣，保持相似不變性。
說明：①|λE-A|=|λE-B| ，但是λE-A=λE-B(-A=-B)不成立。
相似矩陣的特徵值相同，但是特徵向量不同。 實際上，矩陣的相似變換是通過特徵向量之間的可逆變換實現的。不一定每一個劃分相似集合中都有對角矩陣。因此A ~ B不一定能都相似一個對角矩陣。
實對稱矩陣代數式
定義式：①A=A^T，A是實對稱矩陣。
定理 實對稱矩陣的性質
.1②(A^-1)= (A^-1)^T, A^T, A^*同理。
.2③kA=k(A^T),A+B=(A+B)^T
.3④矩陣 與轉置矩陣的相乘得對稱矩陣：
A(A^T)= (A(A^T))^T，同理：(A^T)A。
所以，對稱矩陣都是方陣。
定理 實對稱矩陣的正交相似性
任意一個實對稱矩陣，一定相似正交與一個實對角矩陣。即存在一個正交矩陣Q，使得
⑤ (Q^T)AQ= (Q^-1)AQ= Λ
說明： 是T的特徵值構成的對角形矩陣。
定理 實對稱矩陣的正定性
實對稱矩陣A正定的充要條件是存在可逆矩陣C，使
⑥(C^T)AC=E
定理 實對稱矩陣正定的充要條件
.1 ⑦全部特徵值>0
⑧|A|>0
⑨各階順序主子式 >0
.2構造(分解表示形式)
⑩A=(P^T)P，P可逆(根據⑥)。
存在正交矩陣Q,與對角矩陣契約且相似.
⑤ (Q^T)AQ= (Q^-1)AQ= Λ
.3 A的正慣性指數為n
說明:正定矩陣一定是對稱矩陣.
定理 正定矩陣(實對稱矩陣類)的性質
.1計算特性
kA,A^T,A^-1,A^*都是實對稱正定矩陣.
說明:這四個矩陣都可寫出⑤,⑦~⑩.
