基本介紹
一個方程的解的全體所組成的集合叫做這個方程的解的集合，簡稱 解集。若方程無解，解集就是空集。無解的方程叫做 矛盾方程。
相關概念
方程的解
方程的解(solution of equation)是能使方程左右兩邊的值相等的未知數的值，稱為方程的解。一元方程的解也稱方程的根，一個方程的解的全體所組成的集合，稱為這個方程的解集。
方程的解有三種情況：
(1)方程的解是有限個特定的數；
矛盾方程
矛盾方程(2)方程的解是無窮多個數，這裡又有兩種情況：一是如 的解為 ，但不是一切未知數的允許值都滿足方程；二是方程的解集與未知數的允許值的集合相等，這樣的方程即為 恆等式；
矛盾方程
矛盾方程
矛盾方程
矛盾方程(3)方程無解，如 ，這樣的方程稱為矛盾方程。方程是否有解或有幾個解，與未知數所在的數域有關。如方程 ，在有理數城內無解，在實數域內有兩個解 ，在複數域內有四個解 。求出方程的解集的過程叫做解方程，如果方程無解，則其解集為空集。
方程及其分類
方程(equation)亦稱方程式，數學的一個重要概念和研究對象，一般指含未知數或變數的等式，不僅指代數方程。
1.在初等代數中，只論代數方程，含有未知數的代數式的等式稱為方程。按方程的解的狀況，常把方程分為三類：
矛盾方程
矛盾方程1) 條件等式方程，例如，方程 ，就是滿足 這個條件的等式。普通所說的方程，常指的是這類。
矛盾方程2) 矛盾方程，例如，方程 ，無論x取什麼數值，都不能使這個等式成立。
矛盾方程3) 恆等方程，例如，方程 中的未知數x，可取一切數值，等式恆成立。
2.在解析幾何中，在平面或空間建立某種坐標系後，幾何圖形(例如曲線和曲面)常可用點的坐標所應滿足的一個或幾個方程來表示，例如在空間直角坐標系中，平面由一個三元一次方程表示，直線由兩個三元一次方程表示。
矛盾方程3.在現代數學中，把含變元的等式稱為方程。例如，變元為未知函式 的微分方程
矛盾方程
矛盾方程
矛盾方程變元X為未知集合的集合方程 ；變元x為未知命題的邏輯方程 等。
在中國，方程的名稱來源於《九章算術》，該書的第八章名曰《方程》。劉徽在注釋中說：“程，課程也，群物總雜，各列有數，總言其實，今每行為率.二物者再程，三物者三程，皆如物數程之，並列為行，故謂之方程.”按劉徽的意義，方程是按照一定的規程進行實驗考核(課)而得到的數學模型一一籌碼方陣一一相當於今天線性方程組的增廣矩陣。劉徽還在方程術中敘述了解方程(變換籌碼)的遍乘法與直除法，即現代的用非零數乘一個方程及將一個方程的若干倍加入另一個方程消元。現在的方程一詞是清朝初期翻譯外文名equation(等式)時借用古名而得.英國博物館保存有公元前20世紀古埃及的珍貴文獻萊因德紙草書，相傳它是阿梅斯(Ahmes)抄寫，其中有一個用象形文字書寫的方程題目：
圖1它經埃森洛克(A.Eisenlokr)破譯，題意為：“有一堆，其三分之二，其一半，其七分之一及其全部，共為三十七，求一堆之數。”用現代的寫法便是
矛盾方程
矛盾方程
矛盾方程
矛盾方程這是迄今發現的最早的方程。以後，丟番圖(Diophantus)、卡爾達諾(G.Cardano)、韋達(F.Viete)等人各用不同的符號表示方程，直到1637年，笛卡兒(R.Descartes)在《幾何學》中用 表示方程 。他還把未知數和常數通過有理運算和開方所組成的方程稱為代數方程，非代數方程稱為超越方程。在方程中笛卡兒首先採用拉丁字母的後面幾個字母 來表示未知數。
