早期研究
16 世紀，在義大利數學家塔塔利亞（Tartaglia）、卡爾達諾(Cardano)、費拉利(Ferrari)等人的努力下，用根式求解三次方程與四次方程的方法終獲解決。這樣，利用代數符號，無論是二次方程、三次方程還是四次方程，都能通過根式求出它的一般解。於是，數學家們開始尋找一元五次方程的公式解法。雖屢遭挫折，但人們相信，五次方程的解就隱藏在某個角落。在隨後三百多年，破解五次方程成了數學中最迷人的挑戰之一，很多數學家和數學愛好者，都把它作為檢驗自己才能的試金石。可是毫無例外，他們都失敗了。
五次及以上方程的根式解雖然沒有找到，人們卻積累了很多的經驗和知識，特別值得一提的是法國數學家拉格朗日（Lagrange）。1770 年，拉格朗日發表了《關於代數方程解的思考》，他討論了人們所熟知的解二、三、四次方程的一切方法，並且指出這些成功解法所根據的情況對於五次以及更高次的方程是不可能發生的。拉格朗日試圖得出這種不可能性的證明，然而，經過頑強的努力之後，拉格朗日不得不坦言這個問題“好像是在向人類的智慧挑戰”。
一元五次方程不能用根式求解的第一個證明出現在義大利人魯菲尼
嚴格的證明：
如果方程的次數 n≥5,並且係數 a ,a ,…… ,a 看成字母，那么任何一個
由這些字母組成的根式都不可能是方程的根。
這樣，五次和高於五次的一般方程的求解問題就被阿貝爾“否定”的解決了。
阿貝爾證明了一般一元五次方程不能用根式解，也舉例說有的方程能用根式解。問題是，能用根式解或者不能用根式解的方程，到底怎么來判斷呢？阿貝爾沒有給出證明。換句話說，阿貝爾沒有完全解決一元五次方程的求根問題，遺憾的是，對於什麼樣的特殊方程能用根式解，他還未及得到的答案就因病去世了。
一元五次方程的可解性理論，19 世紀法國天才數學家伽羅瓦(Galois)完成
1830 年初，伽羅瓦向法國科學院提交一篇關於五次方程的論文，去競爭一項數學大獎。雖然論文中沒有提供五次方程的解法，但卻展示了伽羅瓦的數學天分，就連柯西（Cauchy）都認為很可能得獎。這篇文章交給科學院秘書傅立葉(Fourier)評審，不料傅立葉未及寫出評審報告就去世了，此文下落不明。伽羅瓦也因參加學生鬧事，被學校開除。不過，伽羅瓦仍然對數學傾注了極大的熱情，他寫出了將成為他最著名的論文“關於方程可用根式求解的條件”，於 1831 年 1月送交科學院。這是伽羅瓦希望被數學界承認的最後機會，但是三、四個月過了，仍然杳無音訊。這位受挫的數學天才參加了國民衛隊，去保衛共和。結果兩次被捕，第一次無罪釋放，而第二次被判了六個月的監禁。獲得假釋不久，他陷入了與一位女人有關的戀情，於 1832 年 5 月 30 日清晨決鬥身亡—他才 21 歲。
法國數學家劉維爾（Liouville）閱讀了伽羅瓦的論文後，驚喜地發現伽羅瓦 在論文中給出了代數方程可解性的最終判定，而且獨創了一個嶄新的數學概念： 群。
伽羅瓦工作的核心部分是可解性判別準則：若且唯若多項式方程的群是可解群（伽羅瓦群），這個方程可用代數的方法求解。這一準則可用以下過程來簡單描述。
第一步，確定方程的伽羅瓦群。多項式方程的 n 個根構成一個置換群，也叫做伽羅瓦群 G。
第二步，選取伽羅瓦群 G 的極大正規子群 G ，然後再選取 G 的極大正規子群 G ，如此下去，最後一個必然是{I}。(註：子群 K 與母群 G 中任意元素可交 換， K 叫做正規子群)
第三步，構造合成指數列。設 G, G , G ,…., G ,I 的各個群的階數（即群的 元素個數）分別為： g, g , g , …., g ,1；那末每個正規子群在它前面子群中的指定理，有限群 G 的子群的階是 G 的階的因子，故合成指數列一定是整數。）
第四步, 伽羅瓦可解性理論：一個可解群是一個群，它的合成指數列中各個數全為素數。
據此可以列出 2 次到 7 次方程的合成指數列：
| 方程的次數 | 合成指數列 |
| 2 | 2 |
| 3 | 2, 3 |
| 4 | 2, 3, 2, 2 |
| 5 | 2, 60 |
| 6 | 2, 36 |
| 7 | 2, 2520 |
由上表格可以看出，當方程的次數大於 4 時，它的合成指數列中的項不全為素數。那么根據伽羅瓦可解性定理，該方程所對應的伽羅瓦群不是可解群，因而
由伽羅瓦可解性判定準則可知五次及以上方程沒有根式解。
“五次方程”引出了華羅庚
1926 年 7 卷 10 期的上海《學藝》雜誌上發表了一篇蘇家駒的論文《代數的五次方程式之解法》，前文已述，這個問題已經由阿貝爾、伽羅瓦證明是不可解的，所以“蘇文”與阿貝爾、伽羅瓦的理論相矛盾，必定是有錯。華羅庚在閱讀了蘇家駒的文章之後，寫信給《學藝》雜誌指出“蘇文”的錯誤。而《學藝》在1929 年 5 月出版的 9 卷 7 期上只刊載了一則簡短的“更正聲明”，承認“蘇文”有誤。
華羅庚對《學藝》這種半遮半掩的做法並不滿意，他把質疑蘇家駒論點的文章寄呈《科學》編輯部。不久，1930 年 12 月出版的《科學》15 卷 2 期上以“來件”的方式發表了《蘇家駒之代數的五次方程式解法不能成立之理由》。華羅庚在論文的開頭寫道：五次方程經 Abel,Galois 之證明後，一般算學者均認為不可以代數解矣，而《學藝》7卷 10 號載有蘇君之《代數的五次方程式之解法》一文，羅欣讀之而研究之，於去年冬也仿得‘代數的六次方程式之解法’矣，羅對此欣喜異常，意為果能成立則於算學史中亦可占一席之地，惟自思若不將 Abel 言論駁倒，終不能完全此種理論，故羅沉思於 Abel 之論中，閱一月，見其條理精嚴，無懈可擊，後經本社編輯員之暗示，遂從事於蘇君解法確否之工作，與6 月中遂得其不能成立之理由。羅安敢自秘，特公之於世，尙祈示正焉。這段簡短文字透露出兩個重要信息，一是華羅庚曾經撰寫了一篇“代數的六次方程式之解法”，但在精心研讀阿貝爾的論文後，確信其“條理精嚴，無懈可擊”；二是，在雜誌社編輯的啟發下，轉向查考蘇文，進而發現蘇文中的“破綻”。有意思的是，華羅庚所說“本社編輯員”是《學藝》社的？還是“《科學》社的？由於華文刊登在《科學》，這段話又在文章的“篇首”，所以這個“本社”應當是《科學》雜誌編輯部。其實，華羅庚與《科學》雜誌已有姻緣。華羅庚的第一篇論文《Sturm 氏定理的研究》，就發表 1929 年 12 月出版的《科學》14 卷 14 期上。《科學》編輯部重視文章的質量，並不在乎作者的身份。華羅庚此文章只是對求代數方程實根數的 Sturm 定理做了簡化，雖算不上重要發現，但有新意，還是被編輯部接受了。因此，正是《科學》不拘一格，以質選文，才使一位自學青年展露頭角。熊慶來教授正是讀了《科學》雜誌這篇文章，發現了華羅庚。
破解挑戰
迄今，伽羅瓦理論已近二百年，華羅庚的論文也發表了整整 80 年，其間國內未見有學者再對一元五次方程求解有異議。最近國內的一本書在平靜的池塘中，投下了一塊石頭， 書名赫然寫著《一元五次方程破解》！古老的問題迎來了新的挑戰。《一元五次方程破解》的兩位作者討論了一般的一元五次方程的根的求解 x + a x + b x + c x + d x + e = 0 ( e ≠ 0)將上述的一般形式的一元五次方程，按其某些項係數是否為 0 分為 16 種類型（任意實係數、實係數≤1、復係數），以及包括性質 1～性質 17 的各種方程。（具體分類參見該書）。按照作者的解題思路、解題步驟的要求，採用作者書中的解法 1～解法 8，則求解一般的一元五次方程（任一的）的實根和復根也就迎刃而解了。
作者的主要思路可以歸納為：先找出一元五次方程的一個根 x ，然後將一元五次方程降為一元四次方程，這樣問題就簡單了。畢竟，一元四次方程的求解是一個已經解決的問題。關鍵問題是如何求解 x ！作者採用了分解係數、考察 x 的取值範圍等方法來求出 x 。
作者在前言中說：“我們這裡解開所有一元五次方程成立與否及其每個例題都是經過檢驗確定其正確與否，這就等同對此審核其對、錯成為定局，不存在什麼偏、差、錯、漏問題，也不存在什麼權威問題。” 全書雖然只有 180 頁，但這180 頁幾乎全是計算，對 16 類一元五次方程逐一求解，輔以驗證，這種工作在國內是屬於開創性的。作者的刻苦鑽研精神和探索精神，實在是值得學習！但問 題是：這樣做就是“破解”一元五次方程了嗎？
前已詳述，無論是阿貝爾還是伽羅瓦，他們所要證明的都是一般的五次及以 上方程沒有根式解，也就是說，五次及以上代數方程不能像二次、三次、四次方 程那樣，有一個由其各項係數通過有限次加減乘除或開方運算來得到方程的所有的解。也就是阿貝爾定理所指出的： n 次一般多項式當 n ≥5 時，不能用根號解出。這裡雖然指的是一般多項式，但是對於 4 次以上的多項式即使係數是整數的 也不一定都能夠用根號解出。阿貝爾和伽羅瓦都曾嘗試用根式去解的方程
x − 4 x +2 就是一個典型例子。當然，對於一些特殊的一元五次方程的根，通過其它方法還是可以求解的。當然，如果人類永遠限制自己用一種特定的方式並且用特定的工具，那么數學就無從發展。如果我們不限制只用複數域中的運算及根的開方，那么存在一個求解一元五次方程根的方法是相當有可能的。事實上，我們可以用牛頓法來求任意一個多項式 f ( x )∈ R [ x]的實根：若 r 為 f ( x )的一個實根且 h 是 r 的一個“好”的近似值，則 r = lim h ，其中規定 h = h − f ( h ) f ′( h )。此外還有利用橢圓 n→∞模函式求五次方程根的埃爾米特法。科隆內克（Kronecker）在給埃爾米特（Hermite）的一封信及後來的一篇文章中提到，可以用橢圓模函式解出一般五次方程。
通常說一般一元五次方程沒有根式解。但是，沒有根式解不代表完全不能解。如果能找到一元五次方程一個解或者近似解，那么很明顯就可以把一元五次方程降冪為一元四次方程，這樣方程就是可解的了。該書作者正是沿著這種思路，去求解一元五次方程的。將一個複雜的問題轉化為相對簡單的問題，將一個高次方程轉化為低次方程，這是數學研究中常見的思路。很明顯，這本著作並不能說明伽羅瓦理論過時了。伽羅瓦理論所證明的是一元五次方程不存在根式解，即沒有求根公式。該書對一元五次方程的求解過程中，並沒有出現一個統一的公式。而是對一元五次方程本身的係數分類，再去用不同的方法求解。並且在求解過程中，有時會用到近似解。在書的前言中，作者說到：“伽羅瓦曾經特地提出的並且加以證明了：一元五次方程，如 x − x + 1 =0 不能用根式解在內，但作者卻把它解開了，因為此題只需採用近似值計算法便可。”對此，我們不敢苟同。伽羅瓦所說的是指不能用求根公式來解 x − x + 1 =0 ，而該書作者也承認他們的“解”，是“採用近似值計算法”的結果。在認真閱讀該書長達 10 頁的對 的解的過程，不難發現作者是在用大量的計算去找近似解 x ，然後求解一個一元四次方程。這自然不能和伽羅瓦理論混為一談。作者的所謂“破解”說，容易讓人產生錯覺，以為 x − x + 1 =0 這個伽羅瓦都不
能解決的方程，作者卻把它解開了。如果僅從解出方程的根，作者的“破解”是成 立的；但從尋找一般一元五次方程的求根公式這一古老問題來說，伽羅瓦的理論 才是最好的答案。
