盈虧問題

盈虧問題

盈虧問題(problem about profit and loss)亦稱盈不足問題,典型套用題之一。盈虧問題是把一定數量的物品平均分給一定數量的人,由於物品和人數都未知,只已知在兩次分配中一次是盈(有餘),一次是虧(不足);或者兩次都盈餘,或者兩次都虧的數量時,求參加分配的物品總量及人員總數。這類問題稱為盈虧問題。也稱為盈不足問題。為我國古代數學書《九章算術》研究的項目之一。基本運算公式為:(盈+虧)÷(兩次分得之差)=人數;(大盈-小盈)÷(兩次分得之差)=人數;(大虧-小虧)÷(兩次分得之差)=人數。

基本信息

基本介紹

盈虧問題指一定人數平均分一定數量的物品,每人分得少則有餘,每人分得多則不足的套用題.其計算公式為:

(盈+虧)=每人兩次所得差=人數;

兩盈相減÷每人兩次所得差=人數;

兩虧相減÷每人兩次所得差=人數;

每人所得數×人數+盈=物數;

每人所得數×人數-虧=物數。

盈虧問題最早見於中國的《九章算術》,後來傳到亞細亞和歐洲,在歐洲代數學沒有發達以前,曾廣泛使用此法達幾百年之久,直到1675年,義大利的數學書中還稱這方法為laregoladelcataino(意為中國算法)。《九章算術》稱盈虧問題為原術,書中原文為:“今有(人)共買物,人出八,盈三;人出七,不足四;問人數物價各幾何。”這段文字譯為今文是:幾人共同出錢買東西,每人出8元則多3元,若每人出7元則少4元,求人數和物價[2]。一般解法:(盈數+虧數)÷兩次每份分配之差=份數、(大盈-小盈)÷兩次分配之差=份數、(大虧--小虧)÷兩次分配之差=份數、一盈一平或一虧一平=盈數或虧數÷兩次分配的差=份數、再求總數量。每次分的數量*份數+盈=總數量。每次分的數量*份數-虧=總數量。物品數可由其中一種分法的份數和盈虧數求出。有些則不能用公式求出,需要用其他公式。

其它(高級):盈虧臨界點——交易所股票交易量的基數點,超過這一點就會實現盈利,反之則虧損。

設以P代表利潤,V代表銷量,SP代表單價、VC代表單位變動成本,FC代表固定成本,BE代表盈虧臨界點,根據利潤計算公式可求得盈虧臨界點的基本模型為:

盈虧臨界點的計算,可以採用實物和金額兩種計算形式:

1.按實物單位計算:

其中,單位產 設某產品單位售價為10元,單位變動成本為6元,相關固定成本為8 000元,則盈虧臨界點的銷售量(實物單位)=8 000÷(10-6)=2 000(件)。品貢獻毛益=單位產品銷售收入-單位變動成本。

2.按金額綜合計算:盈虧臨界點的銷售量(用金額表現)=固定成本÷貢獻毛益率。

其中,貢獻毛益率=貢獻毛益/ 銷售收入。

例題解析

盈是多餘的意思,虧是不足的意思。平時在分物品時或者安排其他工作時,經常會遇到多餘或是不足的情況,可以根據多餘以及不足的數量引出解題的線索。這類套用題通常叫做盈虧問題。

例1一個植樹小組去栽樹,如果每人栽4棵,還剩下13棵樹苗;如果每人栽6棵,就缺少15棵樹苗。求這個小組有多少人?一共有多少棵樹苗 ?

解:已知每人栽4棵,還剩下13棵樹苗沒有栽上;如果每人栽6棵;就缺少15棵樹苗。一個是餘下了,一個是不足,相差多少棵呢?相差(13+15)=28棵。這就是說,如果按照第二種辦法,可以比第一種辦法多栽28棵樹。為什麼出現這種情況呢?因為每人多栽2棵樹。

總之,由於每人多栽2棵樹,一共可以多栽28棵樹,這樣,小組的人數可以求得。隨之,樹苗的棵數也可以求出。

(1)這個小組有多少人?

(13+15)÷(6-4)=28÷2=14(人)

(2)共有樹苗多少棵?

4×14+13=56+13=69(棵)

或6×14-15=84-15=69(棵)

答:這個小組有14人,共有樹苗69棵。

例2分鉛筆給兒童,如果每人分3支,則鉛筆餘下57支;如果每人分5支,鉛筆還多餘3支。求兒童多少人?鉛筆多少支[3]?

解:兩種分配方法都有多餘。可以根據所余支數的不同,找出兩種分配方法共相差多少支鉛筆。再根據每個人所得鉛筆支數的差,即可求得兒童的人數。隨之,鉛筆的支數也可以求得。

(1)兒童人數:

(57-3)÷(5-3)=54÷2=27(人)

(2)鉛筆支數:

3×27+57=81+57=138(支)

或5×27+3=135+3=138(支)

答:兒童27人,鉛筆138支。

例3學校在分配學生住宿時,原計畫每間房裡住4人,還有1間空房;後來又計畫每間房裡住5人,就能有3間空房。求學生宿舍多少間?住宿的學生多少人[3]?

解:從住宿的學生人數來分析,第一次分配住宿的辦法,說明學生還沒有住滿宿舍,有1間空房,也可以說還缺少4名學生;第二次分配住宿的辦法,有3間空房,也可以說還缺少15名學生。兩種分配方案,都住不滿。根據所虧人數的不同,找出相差數,再根據每間房分配人數的差數,即可求出學生宿舍的間數。隨之,住宿的學生人數也可以求得。

(1)學生宿舍間數:

(5×3-4×1)÷(5-4)=(15-4)÷1=11(間)

(2)住宿的學生人數:

4×(11-1)=40(人)

或 5×(11-3)=40(人)

答:學生宿舍11間,住宿的學生40人。

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