基本介紹
盈虧問題指一定人數平均分一定數量的物品，每人分得少則有餘，每人分得多則不足的套用題.其計算公式為：
(盈+虧)=每人兩次所得差=人數；
兩盈相減÷每人兩次所得差=人數；
兩虧相減÷每人兩次所得差=人數；
每人所得數×人數+盈=物數；
每人所得數×人數－虧=物數。
盈虧問題最早見於中國的《九章算術》，後來傳到亞細亞和歐洲，在歐洲代數學沒有發達以前，曾廣泛使用此法達幾百年之久，直到1675年，義大利的數學書中還稱這方法為laregoladelcataino(意為中國算法)。《九章算術》稱盈虧問題為原術，書中原文為：“今有(人)共買物，人出八，盈三;人出七，不足四；問人數物價各幾何。”這段文字譯為今文是：幾人共同出錢買東西，每人出8元則多3元，若每人出7元則少4元，求人數和物價[2]。一般解法：（盈數+虧數）÷兩次每份分配之差=份數、（大盈-小盈）÷兩次分配之差=份數、（大虧--小虧）÷兩次分配之差=份數、一盈一平或一虧一平=盈數或虧數÷兩次分配的差=份數、再求總數量。每次分的數量*份數+盈=總數量。每次分的數量*份數-虧=總數量。物品數可由其中一種分法的份數和盈虧數求出。有些則不能用公式求出，需要用其他公式。
其它(高級):盈虧臨界點——交易所股票交易量的基數點，超過這一點就會實現盈利，反之則虧損。
設以P代表利潤，V代表銷量，SP代表單價、VC代表單位變動成本，FC代表固定成本，BE代表盈虧臨界點，根據利潤計算公式可求得盈虧臨界點的基本模型為：
盈虧臨界點的計算，可以採用實物和金額兩種計算形式：
1．按實物單位計算：
其中，單位產 設某產品單位售價為10元，單位變動成本為6元，相關固定成本為8 000元，則盈虧臨界點的銷售量(實物單位)=8 000÷(10－6)=2 000（件）。品貢獻毛益=單位產品銷售收入－單位變動成本。
2．按金額綜合計算：盈虧臨界點的銷售量（用金額表現）=固定成本÷貢獻毛益率。
其中，貢獻毛益率=貢獻毛益/ 銷售收入。
例題解析
盈是多餘的意思，虧是不足的意思。平時在分物品時或者安排其他工作時，經常會遇到多餘或是不足的情況，可以根據多餘以及不足的數量引出解題的線索。這類套用題通常叫做盈虧問題。
例1一個植樹小組去栽樹，如果每人栽4棵，還剩下13棵樹苗;如果每人栽6棵，就缺少15棵樹苗。求這個小組有多少人?一共有多少棵樹苗 ?
解：已知每人栽4棵，還剩下13棵樹苗沒有栽上;如果每人栽6棵;就缺少15棵樹苗。一個是餘下了，一個是不足，相差多少棵呢?相差(13+15)=28棵。這就是說，如果按照第二種辦法，可以比第一種辦法多栽28棵樹。為什麼出現這種情況呢?因為每人多栽2棵樹。
總之，由於每人多栽2棵樹，一共可以多栽28棵樹，這樣，小組的人數可以求得。隨之，樹苗的棵數也可以求出。
(1)這個小組有多少人?
(13+15)÷(6-4)=28÷2=14(人)
(2)共有樹苗多少棵?
4×14+13=56+13=69(棵)
或6×14-15=84-15=69(棵)
答：這個小組有14人，共有樹苗69棵。
例2分鉛筆給兒童，如果每人分3支，則鉛筆餘下57支;如果每人分5支，鉛筆還多餘3支。求兒童多少人?鉛筆多少支[3]?
解：兩種分配方法都有多餘。可以根據所余支數的不同，找出兩種分配方法共相差多少支鉛筆。再根據每個人所得鉛筆支數的差，即可求得兒童的人數。隨之，鉛筆的支數也可以求得。
(1)兒童人數：
(57-3)÷(5-3)=54÷2=27(人)
(2)鉛筆支數：
3×27+57=81+57=138(支)
或5×27+3=135+3=138(支)
答：兒童27人，鉛筆138支。
例3學校在分配學生住宿時，原計畫每間房裡住4人，還有1間空房;後來又計畫每間房裡住5人，就能有3間空房。求學生宿舍多少間?住宿的學生多少人[3]?
解：從住宿的學生人數來分析，第一次分配住宿的辦法，說明學生還沒有住滿宿舍，有1間空房，也可以說還缺少4名學生;第二次分配住宿的辦法，有3間空房，也可以說還缺少15名學生。兩種分配方案，都住不滿。根據所虧人數的不同，找出相差數，再根據每間房分配人數的差數，即可求出學生宿舍的間數。隨之，住宿的學生人數也可以求得。
(1)學生宿舍間數：
(5×3-4×1)÷(5-4)=(15-4)÷1=11(間)
(2)住宿的學生人數：
4×(11-1)=40(人)
或 5×(11-3)=40(人)
答：學生宿舍11間，住宿的學生40人。
