核心概念:任何無規則行走者所帶的守恆量都各自對應著一個擴散運輸定律。
無規則行走與擴散定律
無規則行走無規則行走在任意尺度上都具有相似結構。例如一個在二維(d=2)格子上遊動,每一定時間以相同機率移動到其相鄰位置,其軌跡即二維隨機軌跡,同樣可以擴展到三維。舉個例子,你取2 個硬幣一個1 分,一個5 分。你每五秒,將2 個硬幣擲一次,1 分硬幣用於左右移動標記,5 分硬幣用於前後移動標記,繪出路徑就是你的二維無規則行走。假如你走了1000 步那么你回到起點的方式M0 有多少種?那么么必須正反面各500 次。即,對一個特定投幣序列將投出正面的序號列出清單,清單包括500 個不同的整數這個量為:1000!/500!,而任意兩張清單只在元素存在換序的差異,則實際上並無區別所以必須除以可能的置換數500!。M0=1000!/(500!×500!),“!”表示階乘。回到原點的機率P0=M0/ M,這個機率滿足二項式分布。對於所有M 種可能可以用斯特林公式:LNM!≈M lnM-M + ½ln(2πM)。通過計算我們知道回到起點的機率很低。
要想找出第1000 步後你走了多遠,你可以列出1000 次投幣的結果序列然後對所有(x1000)的2次方 求平均,得到1000 步後的均方位置;這顯然太複雜,好在還有另外的方法。我們可以將所有2的N次方 種可能行走一一配對,每一配對由相同的x(N-1 );{(N-1)為x的下腳標}的兩個可能性相等的行走組成,只是最後一步不同。N 步隨機性走的均方位移比N-1 步大a的2次方,後者又比N-2 步大a的2次方,均方位移=Na的2次方。a 為格子間隔,每一個格子點上遊動的可能方向有2d 個(d 是格子維數)單位時間內遊動的方差為D=a2/(2d)t ,D 為擴散係數(一些參考書中也用字母K 表示,a後面的2為次方,後面凡數字在字母后面都表示指數)。對於一維無規則行走的均方位移隨時間線性增加2Kt,擴散常數D=a2/(2Δt)。這個邏輯可以推廣到二維和三維。
圖1.131 (a)二維無規則行走;(b)當步驟更多,步幅更低時二維無規則行走;(c)三維無規則行走。擴散定律
擴散以一個初始分布釋放大量的無規則行走,觀察他們的密度就會得到分布函式。1855 年法國生理學家Fick 提出了描述擴散規律的基本公式— 菲克定律,在一維(如x 方向擴散的)粒子流密度(即單位時間內在單位截面上擴散的粒子流)J N 與粒子數密度梯度dc/dx成正比。擴散通量J=-D×(dc/dx),稱為菲克定律又稱擴散第一定律。進一步消掉J,找出濃度隨時間的變化關係dc/dt=D(D2C/dx2)其中2都是上角標,稱為菲克第二定律;在高等教材中可以寫成偏導的形式d 換成ә。
任何單次步驟不會遵從擴散定律,但只要等待足夠長的時間和步驟,便可精確預測無規則行走。布朗運動就是無規則行走這一現象的巨觀觀察。通過擴散定律我們將布朗運動的微觀參數(步長a 和間隔時間Δt)與巨觀實驗可觀測量(擴散常數D)建立了聯繫。然而一個方程無法解出兩個未知量,測量K 不足以得到a 和Δt。這意味著還需要其他能夠說明摩擦與擴散定量聯繫的公式。
對無規則行走的數學處理使用了過於簡化的假設,擴散定律是普適的,只要給定獨立隨機行走的某種分布,它就不依賴於具體的模型。漲落是隨機的、混沌的,無規則行走的結果就是擴散,這包括物質擴散、動量擴散、熱量擴散等。這也意味著結晶學、天文學、生物學、氣象學、流體力學、經濟學都將用到擴散定律。擴散定律是普適的,在這裡我們作為一個結論而接受下來,具體的一系列數學證明過程給予捨棄。感興趣的朋友可以參見任何一本物理化學教材或分形教材。
擴散定律與守恆量擴散是一個隨機漲落的過程,在本科一年級的物理課程已經提及一個落體最終會達到取決於摩擦的“末速度”。以懸浮顆粒來考慮摩擦,顆粒雖然受隨機碰撞,仍獲得了一個淨漂移速度。v=f/ζ ,ζ=2m/Δt 其中ζ是黏性摩擦係數,與擴散係數一樣可以實驗測量。摩擦源於物理實體與周圍熱致擾動的流體隨機碰撞。每一種顆粒當置於不同的溶劑中時都會有相應特徵D(擴散係數)和ζ。球體的黏性摩擦係數與尺寸間存在簡單關係,ζ=6πηR 斯托克斯(stokes)公式;R 是顆粒半徑,η是常數稱為流體黏度(水的黏度為10-3kg/ms)。由於有效步長a 和Δt 無法觀察,要想證實擴散與粘滯僅僅是熱運動的兩個方面,我們還需要第三個關係。愛因斯坦注意到a 和Δt 的關係,按照推到理想氣體定律的思路:(a/Δt)2=kBT/m,聯合起來就構成愛因斯坦第一擴散公式:ζD=kBT。這個關係由愛因斯坦在1905 年的碩士論文中得到,這表明顆粒位置的漲落與摩擦阻力相聯繫,並且這個關係是定量普適的。越小的顆粒受到摩擦阻力越小,但擴散係數會更大,更容易擴散。ζD 的乘積提供了一個可證偽的預言來檢驗“熱即分子的無規則運動”;這個與預言提出不久就立刻被佩蘭(Jeans Perrin)和其他人的實驗所證實。任何無規則行走攜帶的守恆量都各自對應一個擴散定律。
無規則行走只是布朗運動的理想狀態
在很多系統都存在不同類型的無規則行走,他們都具有相似結構。單個的隨機事件我們不可預測,但隨機大量的群體行為,卻是精確可知的,這就是機率世界的魅力,在偶然中隱含著必然。隨機性造成了低尺度下的差異性,但在高尺度下又表現為共同的特徵的相似性。按照機率的觀點“宇宙即是所有隨機事件機率的總和”。
橢球體布朗運動相關研究雖然無規則行走導致的擴散滿足以上的方程並有普適性,但假如這樣的的“無規則行走”某個方向,並不是完全隨機呢?以前面提到的投硬幣為例子,一個1 分,一個5 分,其中1 分硬幣破損使得正反面機率不相等,並且隨機若干步後,將1 分和5 分硬幣所代表的方向對調;那么二維的無規則行走路徑必然發生改變。當年愛因斯坦的論文是探討球形顆粒的布朗運動,我們知道球形顆粒的鏇轉並不影響他的平移,鏇轉的非球形例子卻會影響它的平移。實際中,大量布朗運動的顆粒都是非球形的,所以更多的模型不得不考慮隨機轉動問題。其實即使對球形顆粒在黏性流體中,也要考慮隨機轉動產生的轉動摩擦係數對擴散的影響。
賓夕法尼亞大學的網站報導,研究人員用數字視屏顯微鏡觀察水中懸浮橢球體的隨機鏇轉和移動。球形顆粒擴散分布將隨時間逐漸變寬,為高斯型濃度分布;而橢球顆粒不滿足高斯分布。隨著布朗運動的深入研究,越來越多的實驗表明布朗運動顆粒的行為與愛因斯坦一個世紀前的假設不同。2005 年10 月的物理評論快報,提到現在實驗室可以跟蹤布朗運動顆粒的測量精度達到微秒和納米的尺度。科學家們也發現活細胞的許多基本過程由布朗運動所驅動。試驗結果描述布朗運動的方程式偏離標準理論的,實際的布朗運動要比理想化的無規則行走要複雜。
布朗運動是分形的典型例子,理想狀態下的布朗運動是高斯常態分配,當然更多的布朗運動研究細節我們不做探討。任何事物都不是孤立的,都是相互作用、相互聯繫的。用還原論觀點將系統一個個隔離是對事物的理想化,是在一定程度上精確定量描述系統,當然這也是認識事物必經的步驟,但是有缺陷的。
哥德爾不完備定理,以及認識主體對客體的反映永遠存在這不完備性。我觀贊同哥本哈根學派的主張“自然科學不是自然界本身,而是人和自然界間關係的一部分,因而依賴人”。無論用還原論還是整體論都是用抽象去闡明物質的特性,這些抽象在任何時候僅僅是近似地、有條件的把握了物質的本質,不是世界的全部。布朗運動研究的歷史,具有典型性,有點像整個科學研究史的縮影。人對事物的認識總是漸進的,不斷深入的,隨著認識深入會發現各種模型都是理想化的條件。這種認識永遠無法走向事物的絕對認識,因為孤立的事物是不存在的,所有的系統都是宇宙整體的一部分。
討論
之所以在大尺度上隨機事件都會表現一致性趨向,而低尺度下卻表現差異和不可預知性。在我看來也是由於人對自然界的抽象認識,並不是自然界本身。對自然的客觀反映,並不是自然界的全部。雖然我本人反對操作主義,但部分思想是有啟發的,像“物是操作的總和”、“物的屬性在操作中尋求意義”等等。按照操作主義,科學真正的物理實在不存在於科學實驗觀測之外。誠然這是錯誤的,不可感知並不意味著不存在,但操作主義從另一個角度向我們說明里離我們觀察操作越遠的尺度,我們對這些尺度下的事物的客觀反映越模糊。比如普朗克尺度下的時間與空間特性、宇宙大尺度上星系間的關係以及融合、又或者存在更高尺度上驅動星系演化的事物等等。我們都還無法描述但不意味著他們不存在。既然世界是這樣一個整體,放大蝴蝶效應我甚至相信一個原子的行為可能影響一個星系(我把它稱為強蝴蝶效應),當然這個過程要花費的時間也許超過數百億倍宇宙的年齡。
其他類型的無規則行走
P2P與無規則行走許多系統都有類似無規則行走的例子。例如:P2P (Peer-to-Peer 對等計算,簡稱P2P)搜尋中Random Walk 搜尋方法在隨機漫步中,請求者發出K 個查詢請求給隨機挑選的K 個相鄰節點。然後每個查詢信息在以後的漫步過程中直接與請求者保持聯繫,詢問是否還要繼續下一步。如果請求者同意繼續漫步,則又開始隨機選擇下一步漫步的節點,否則中止搜尋又開始隨機選擇下一步漫步的節點,否則中止搜尋又開始隨機選擇下一步漫步的節點,否則中止搜尋。
圖1.133 P2P 搜尋中Random Walk 搜尋方法搜尋信息的擴散。高分子形狀與無規則行走高分子的形狀類似於無規則行走,把高分子想像成由N 個單元排成的長串。每個單元都由一個完全柔軟的鉸鏈與下一個單元相連,就像一串回形針。熱平衡時,這些鉸鏈全部處於隨機選取的角度,高分子每一時刻的形狀都會不同,每一時刻都是一個無規則行走。如果合成的高分子由不同數量的單元組成,線團尺寸的增加正比於其摩爾質量的平方根。
如果單元間存在著強烈的相互吸引力,高分子將不再採取無規則行走構象而是密堆成一個球體,例如血清球蛋白。可以通過比較高分子的體積和假設所有密堆占的最小體積,將高分子分為“緊密型”和“舒展型”。即使高分子不坍縮為團,單體也並非真正處於任何位置,兩個單體不可能占據空間同一點,這是自迴避現象。這樣標度指數(線團尺寸的增加正比於其摩爾質量的指數)就由0.5 變為其他值,所以這個值往往略大一點。不管精確值是什麼,高分子運動的複雜性可湧現出簡單的標度關係。
梅爾(B.Maier)和雷德勒爾(J.Radler)首先構建了一個帶正電的表面並讓他吸附帶負電荷的單鏈DNA 然後對被吸附的DNA 分子不斷變化的構象進行連續快照(DNA 帶有螢光染色)。DNA 分子可以是自交叉的但每次出現這種情況都是一個消耗結合能的過程,在交叉點處那條帶負電的鏈並不與帶正電的表面接觸,而是被強迫與另一條帶負電的連結觸。因此我們可以認為線團尺寸遵從二維無規自迴避行走標度律,標度指數為0.75。一旦結合在平面上,DNA 鏈就開始各種蜿蜒構象間的變化,梅爾和雷德勒爾計算出了高分子鏈的迴轉半徑與首末端距離的均方有關,標度指數0.79 接近於理論的0.75。(更多內容參見菲利普·納爾遜的《生物物理學:能量、信息、生命》)
股票市場由無數的亞單元即投資者構成。每個投資者為個人經驗、感情和不完全信息所左右,其決策立足於其他投資的的決策以及匯總的信息中的隨機事件,在經濟學上研究這樣的決策叫做博弈論(game theory)。當然單個投資者的行為不可預測,但長期來看,股票價格作某種帶漂移的無規則行走。驅動這個行走的包括投資者的突發奇想、自然災難、公司倒閉、以及其他不可預知的新聞事件。為什麼行走會是隨機?假如一個分析員發現12 月末股價會上揚,到1 月初在下跌,一旦這種規律被市場參與者得知自然人們會選擇這段時間內拋出股票,這一行為導致了股票下跌,消除了這種效應的可能。股票的公平原則即要求公開信息資源,使得一個投資者沒有更多戰勝其他投資者的有用信息。在信息完全公開的情況下長時間的股票曲線應該近似於一維無規則行走。
任何無規則行走者所帶的守恆量都各自對應著一個擴散運輸定律。比如粒子數守恆對應物質擴散,能量守恆對應熱傳導定律,熱傳導定律可以看成另一條菲克型定律。
自我與無規則行走之人生哲學
每個人的一生相對於人類社會,都只是短暫的一瞬間,這樣的一生都是一個隨機行走過程,無數的隨機行走過程構成了整個人類社會。人的一生相對社會是渺小的,一個人的得失不會改變這個世界的演化方向,歷史上的偉人只是推動了社會的進程。所以我們又有什麼理由去患得患失,去抱怨社會的不公?
這一切都是隨機的。怎么樣才能在人的一生里最大可能去影響世界,推動歷史?按照反饋原則:欲變世界,先變其身。人一生必須經歷各種各樣的“隨機性”,在這樣的隨機與無序中變化自我,使人生經歷的樣本足夠多才能構成人與社會穩定的系統的反饋。隨機的樣本是人與人之間的差異性,足夠多的差異性就構成多樣性;當多樣性超過閾值,便可在反饋系統積累有序性,進而形成複雜的耗散結構。在這個原理指導下,人生應該通過學習自我反省,改變自我。人生的態度應積極的追求,使之最大限度隨機行走接觸更多的事物,而豐富人生經歷的樣本;這就是成長,經歷使人成長。人生要把握各種隨機和選擇,經歷都是隨機的,但一個人對事物作出選擇的根本思想卻是穩定的,這取決於他對世界的反饋——他的世界觀。
每到一個陌生的城市我的習慣無規則行走
每當我來到一個陌生的大城市,從城市的一個邊緣到另一個邊緣坐公共汽車。我只需要記住目的地就行了,任意隨機登上一輛公共汽車,重在看沿途的風景的心情。開過若干個站後,下車看車牌,沒有目的地,再隨機登上公車若干個站下車,循環於此,我發現基本3-5次換車後總能總能找到目的地車牌到達目的地。
無規則行走的人生哲學
也許人生的哲學就是這樣無規則新走,人一生終點站都是死亡。而生命的意義就是如何活的精彩與價值我們不需要花大精力去找人生最優的“路徑”,只要我們不走重複的道路,不范重複的錯誤,總會到達理想的目的地。讓生命充滿更多的隨機,不在乎得失,隨遇而安。——這樣我們也不用買房了,遷徙是生命的本能,為何一定要固定的居所,而生活束縛之中,喪失隨機?也許是因為中國人“家”的觀念吧?