興起與產生
混沌經濟學在文獻中正式使用混沌一詞的是李天岩和Yorke，他們在1975年發表的題為《周期三蘊涵混沌》的文章中對最簡單的數學模型，即只有一個變數的模型，證明了一個重要定理，開啟了近代混沌現象研究的先河。下面我們用f表示只有一個變數的函式略加說明。系統(即f)可能是周期的。同時周期現象有一個周期長短的問題。這個定理的第一部分說明，如果這樣的系統有一個3周期點，即存在初始值x，使得x，f (x)，f2(x)兩兩不等，但x=f3(x)1，它就存在以任意整數為周期的周期點。周期現象重要，但非周期現象更重要。為此我們引進一個術語。對任意初始值或點x，x在f的疊代作用下的軌道，是一個點列。如果這個點列收斂到一個固定的點，即系統向一個固定的目標運行。如果系統不向一個固定的目標運行，情況就變得複雜了。定理的第二部分說明，存在由不可數無窮多點或初始值組成的I的子集合S，其中任意不同兩點在同步疊代作用下的軌道時而聚攏，時而分離。這個現象說明，如果系統的初始值選在S內的點上，那么系統的運行就將是複雜多變的和不可預測的。也就是出現了混沌現象。1982年6月和1983年5月美國經濟學家德依（Day，R）發表的“非規則增長周期”、“經典增長中顯現的混沌”完成了混沌經濟學理論上、實驗上的突破，以1987年“黑色星期一”為契機，混沌經濟學形成了一股不小的研究熱潮，使混沌經濟學開始步入主流經濟學的領地。
研究內容
混沌經濟學混沌經濟學假設關係是非線性的，認為經濟系統所呈現的短期不規則漲落並非外部隨機衝擊的結果，而是系統內部的機制所引起的。經濟系統中時間不可逆、多重因果反饋環及不確定性的存在使經濟系統本身處於一個不均勻的時空中，具有極為複雜的非線性特徵。非對稱的供給需求、非對稱的經濟周期波動(現已證明：經濟周期波動呈“泊松分布”而非“常態分配”)非對稱的信息、貨幣的對稱破缺（符號經濟與實物經濟的非一一對應）、經濟變數疊代過程中的時滯、人的行為的“有限理性”等正是這種非線性特徵的表現。
混沌經濟學的方法論是集體(整體)主義，即“理論必須根植於不可再分的個人集團的行為”。在混沌經濟學看來，經濟系統由數以百萬計的個體和組織的相互作用所決定，而每一個個體和組織又涉及到數以千計的商品和數以萬計的生產過程，因此，個體行為並非是一種孤立的存在，僅僅完備地認識個體的行為並不能使我們掌握整個經濟系統的演化狀態。運用整體主義的方法論，混沌經濟學在經濟成長、經濟波動、股市漲落、廠商行為、匯率浮動等領域進行探索，得出了經濟波動源於經濟系統的內生機制而非隨機震盪、非均衡是經濟系統的常態、雜亂無章的經濟現象背後隱藏著良好的結構而非隨機狀態等一系列在新古典個人主義方法論下所無法得到的、更符合現實的結果。
混沌經濟學的時間概念是時間具有不可逆性。認為系統的演化具有累進特徵(積累效應)，時間之矢是永遠向上的。隨著時間的演進，系統總是不斷地具有新的性態，絕不重複，原因與結果之間的聯繫並非唯一確定的，是一種循環因果關係。因此，混沌經濟學的一個核心命題是“對初始條件的敏感依賴性”(亦稱“蝴蝶效應”)。用通俗的語言來說，混沌系統象一個放大裝置，可以將初始條件帶進的差異迅速放大，最終將真實狀態掩蓋，從而實質上導致長期演變軌道的不可預測性。
混沌經濟學更注重對遞增報酬的研究，認為經濟系統在一定條件下（指系統結構演化的各種臨界值），小效果的影響力不但不會衰減，而且還傾向於擴大。而這種小效果的擴大趨勢也正是由非線性動力系統內的本質特徵所決定的。混沌經濟學並不排除理性因素，只是認為那種完全理性的假設是不現實的，只有將理性因素和非理性因素綜合起來考慮才更符合現實。它認為混沌這種表面上看起來是隨機的現象後面隱藏著一定的規律性和秩序，如奇異吸引子、分支、視窗等。混沌學研究的內容就是找出其中存在的規律和秩序，並將事物發展的必然性和偶然性，幾率描述和決定論描述統一起來，最後再將研究結果作為工具去解決實踐中困擾我們的複雜性難題。
受到眾多自然、富有創建性思想體系綜合啟發的混沌經濟學，其思想根基比傳統經濟學觸及更廣的自然科學領域，因而也就開闊了它的經濟研究視野。
發展方向
混沌經濟學威廉·鮑莫爾（William J. Baumol）和愛德華·沃爾夫(Edward Wolff)等人從微觀經濟角度研究了混沌經濟問題。1983年他們在考慮企業的研究開發(R&D)支出水平與企業生產增長率之間關係時發現，在R&D支出水平占企業銷售收入的比例到達一定範圍時，企業的生產增長率就會呈周期性或混沌態。
1985年，鮑莫爾(Baumol)和誇得特(R.E.Quandt)發表了論文“混沌模型及可預測性”，研究了利潤與廣告的關係模型：Pt＝ayt(1一Yt)式中Pt為t時的總利潤，Yt為t時的廣告支出．他們假定廠商按本期利潤的一個固定比例b用於下一期的廣告支出，即Yt+1＝b×Pt，則在a×b＝α的條件下，可得到Yt+1＝α×Yt (1一Yt)；研究表明，這種關係模型經一段時間後，就會出現大幅度振盪，甚至出現混沌。戴(R．Day，1982，1983)研究了包括人口淨自然出生率、生產函式和平均工資收入的古典經濟成長模型，在最大人口數量時的收入若低於維持最低生活水平所需的收入時，人口的變化將會出現混沌狀態。他和本哈比 (Benhbib，1981)還研究了不同消費傾向將會產生不同的消費者行為：窮人的消費選擇很可能是相當穩定的，而富人的消費行為則可能是周期波動的，甚至是混沌的。博爾丁(Boldrin，1988)的研究表明，經濟現象的不規則波動是受到市場力、技術變革和消費傾向三者共同作用下經濟系統內生決定的結果。魯塞(J.B.Rosser，l993)等人以東歐集團國家的經濟變革作了實證說明。中央計畫的社會主義經濟既會出現周期性波動，也會出現混沌，而進入混沌的條件，往往也是將要發生經濟制度變革之時。1992年，底考斯持（D.P.Decoster）和米契爾(D.W.Mitchell)研究了貨幣動力系統混沌問題。布勞克(Brock，1988)、沙因克曼(Schenkman)和萊伯倫(Le Baron，1986)等人提出了用關聯性、“攪拌”、“殘差”等方法診斷經濟時間序列的混沌性。索耶斯(Sayers)、巴雷特(Barnett)和費蘭克(Frank)等人也都在股票證券、外匯交易、期貨等市場產生高頻經濟數據的經濟活動中找到了低維混沌吸引子。這意味著只需少數幾個經濟變數就可以描述這類複雜的經濟現象。
在中國，1987年，旅美經濟學學者陳平用實際數據，計算了分維，從巨觀貨幣指數中發現了維數為1.5左右的奇怪吸引子。自他將混沌經濟學研究引入中國後，1992年楊培才等人在論文“經濟混沌的實例及可預報性”中，用倫敦外匯市場發布的英鎊對美元周平均匯率的時間序列作為原始數據，研究了外匯系統中的奇怪吸引子，推出了匯價變動的規律性及近期的可預報性。1993年．王軍等在“標準普爾500指數(S&P 500)的混沌吸引子”一文中指出了S&500有一個混沌吸引子，其維數為2.33，並論述了該吸引子對資本市場運動的意義。劉洪在《系統工程理論方法套用》論證了道格拉斯生產函式產生混沌的條件。1994年，黃登仕、李後強在《非線性經濟學的理論與方法》一書中．對經濟系統中的分形特徵作了較深入研究。他們首次使用非線性經濟學的一些統計方法、預測方法(BDS統計、R／S分析)對香港黃金價格、深圳股市價格等進行了預測和實證研究。現在國內已有越來越多的學者從事混沌經濟的研究工作。如莊新田等運用混沌經濟學的方法，對股票市場的流動性及交易群體數量變動問題進行分析，探討如何實現市場的流動性和均衡狀態。王春峰、康莉等利用混沌經濟學和向量自回歸（VAR）方法，實證分析了我國通貨緊縮的成因及發展趨勢。沈華嵩等根據中國國民經濟的數據，提出確認經濟混沌的理論模型。
今後經濟混沌的研究應從兩個方面加強：要擴大經濟混沌的實證範圍和提高實證的質量；要在經濟系統的動力模型方面深入研究，以期在控制和預測方面有所突破。混沌經濟學的發展對經濟學的貢獻將是不可估量的，而且將會引起數理經濟學及計量經濟學的變革，從而可能在新的規範下建立包容已往各據一詞的各個學派的統一經濟理論，更好地解釋現代經濟的運行規律。
混沌理論在投資中的套用
混沌和分形的基本概念
有人說：“20世紀的科學家只有三件事將被記住：相對論、量子力學和混沌。他們主張，混沌是本世紀物理學中第三次大革命。就像前兩次革命一樣，混沌割斷了牛頓物理學的基本原則。如同一位物理學家所說：“相對論排除了對絕對空間和時間的牛頓迷夢；混沌則排除了拉普拉斯決定論的可預見性的狂想。”在這三大革命中，混沌革命適用於我們看得見、摸得到的世界，適用於和人同一尺度的對象。”
混沌的特徵:1.非周期；2.對初條件敏感；3.有界。
其中“對初條件敏感”是最為人們熟知的混沌特徵。經典動力學的傳統觀點認為：系統的長期行為對初始條件是不敏感的，即初始條件的微小變化對未來狀態所造成的差別也是很微小的。混沌理論則告訴我們，初始條件的十分微小的變化經過不斷放大，可以對未來狀態造成極其巨大的差別。正如中國的一句古話：“失之毫釐，謬以千里”。因此，對一個混沌系統進行長期預測是不可能的。
需要指出的是，“混沌”並不是混亂無序的狀態，而是一種更高層次的有序。混沌系統可以產生看上去隨機但實際上卻並非真正隨機的結果。混沌是決定論的，是由確定性的非線性系統產生的，本質上是因果性的。
什麼是分形？
非線性系統往往具有一種叫做“自相似”的統計特徵，也就是說系統在不同尺度上具有相同的統計性質(整體與局部的相似性)。Mandelbrot提出了分形理論來描述這種特徵。對幾何圖形來說，分形指的是其空間上的自相似性；而分形時間序列則是指時間序列在不同時間尺度上的自相似性。金融時間序列也具有分形的特徵，直觀的說，股票的日線、周線和月線，看起來是很相似的(用統計方法分析，日收益、周收益和月收益的分布是基本相同的)。
謝爾平斯基三角形，它是用隨機的方式執行一個確定性的規則生成的。(從相互等間距三個點中的某一個開始，隨機選擇向其它兩個點中的某一個移動一半的距離；記錄下所有到過的點；重複以上過程10000次)。從中我們可以觀察到“自相似”的特點。它是確定性和隨機性結合的產物，其整體特徵體現了高度的有序。
分形市場假說
Peters認為有效市場假說(EfficientMarketHypothesis,EMH)不能很好的描述真實的資本市場，而“分形理論”更符合市場的特徵，因此提出“分形市場假說（FractalMarketHypothesis,FMH)）”作為有效市場假說的替代品。FMH重點分析了市場的流動性和投資期限對投資者行為的影響，對市場崩潰等現象能夠給出比較合理的解釋，關於FMH的詳細討論可以參見Peters的著作《資本市場的混沌與秩序》（側重於描述性的討論和分析）和《分形市場分析》（側重於統計研究方法和經驗研究結果）。
回顧有效市場假說(EMH)
EMH起源於對金融資產價格行為的研究，目的是找到價格變化的規律，以圖從中獲利。1965年，法馬(Fama)提出這一假說，認為市場是一個“公平博弈”的場所，價格已經充分反映了所有可以得到的信息，因此信息不能被用來在市場上獲利。EMH分為三種形式：弱有效，半強有效，強有效。一般認為資本市場是半強有效的，也就是說市場價格反映了所有過去的信息和所有公開的信息，通過分析公開信息來獲取超額收益率的努力是徒勞的。
EMH的核心內容包括兩個基本結論：
1，根據可獲得的所有公開信息，股價會迅速準確地進行調整——市場是很有效率的；
2，股價變動的歷史資料不包含任何對預測股價未來變動有用的信息——根據股價過去變動的信息不能預測股價的未來變動。
EMH的第一個結論實際上是亞當·斯密“看不見的手”在金融市場的延伸，它基於投資者都是“理性的”這一假定，進一步可以認為市場是處於均衡狀態的(在“公平價格”上下波動)。第二個結論實際上是對20世紀三四十年代盛行的技術分析流派的反對，這與20世紀五六十年代大量對股票價格行為隨機遊走特性的研究有很大關係。薩謬爾森等人提出，股票價格遵循幾何布朗運動，也就是說股票價格收益率(對數收益率)遵循隨機遊走(獨立同分布、有限方差的隨機過程，序列自相關為0，沒有記憶效應，方差隨時間線性增長)，其分布符合常態分配。如果股票價格是一個隨機遊走過程，那么預測自然是不可能的——這是一個充分條件。
一個常常被用於支持EMH的觀點是：積極主動的投資者並不總是能擊敗“市場”。對於巴菲特等投資大師，EMH的支持者們則將之成功歸功與偶然的運氣。諾貝爾獎得主保羅·Ａ·薩繆爾森否認巴菲特有“才能”，說巴菲特們只是擲骰子、擲飛鏢者，認為股市投資“只需閉上眼睛胡亂抓”就行。諾貝爾獎得主威廉·Ｆ·夏普也直截了當，說巴菲特只是個“3Σ事件——一個統計學上極小的機率，可以忽略不計。”
經濟學家阿芝·Ａ·阿爾奇說，投資大師們的成功“是運氣不錯，而不是天才。”另一個經濟學家巴頓·Ｇ·麥基亞故弄玄虛地說：“雖然我相信存在這種優秀的投資經營者的可能性，但我必須強調，至今為止我們掌握的材料還不能證明這種人的確存在。”在經濟學家的理論中，很難容忍成功的投資大師的存在，就像投資大師理察·Ｈ·德里豪斯所說：“我們是學術規則的例外，屬於統計學偏差範圍，我們可以忽略不計，好像我們根本就不存在。這是學術界給我們和巴菲特以及其他少數人的理論定性。因為我們給他們的理論造成了難堪，他們乾脆就說我們不存在。”
對有效市場假說(EMH)的質疑
1，經驗研究發現了一些與EMH相悖的現象：規模效應，季節效應，小公司一月效應等。
規模效應：指股票收益率與公司大小有關。Banz是第一個發現規模效應的經濟學家，他在1981年發現在美國，無論是總收益率還是風險調節後的收益率都與公司大小負相關。在Banz之後，經濟學家們對各主要已開發國家的市場進行了廣泛檢驗，其中包括比利時、加拿大、日本、西班牙、法國等。除了加拿大和法國外，其它國家均存在規模效應。
季節效應：指股票收益率與時間有關。Rozeff和Kinney在1976年時發現，1904-1974年間紐約股票交易所的股價指數一月份的收益率明顯高於其它11個月的收益率。Gultekin等1983年研究了17個國家1959-1979年的股票收益率，其中13個國家一月份的股票收益率高於其它月份。
除元月效應以外，季節效應還包括周末效應、節日效應以及開盤、收盤效應等。季節效應也是在世界各國資本市場普遍存在的現象。有人對上海和深圳股票市場進行了周末效應檢驗，發現無論是深圳股票市場還是上海股票市場在所選取的樣本區間內，股票報酬率最低均出現在每個月的第4個周一，從而證實我國股票市場也存在季節效應。
小公司一月效應：1983年Keim發現公司的規模與元月效應有密切的關係。他將紐約股票交易所的股票按規模分為10組，然後逐月算出規模最小的公司和規模最大的公司的超額收益率之差。一月份規模最小的公司比規模最大的公司的超額收益率高出14%左右。而且較高的收益率又主要集中在十二月底的最後一個交易日和一月的頭5個交易日。
另外，關於股票收益率分布的經驗研究發現其非正態性質：尖峰，胖尾。因此，Mandelbrot在上世紀60年代提出用Levy分布(又稱為穩定Levy分布，穩定帕累托分布)擬合收益率分布(Levy分布是非線性系統一個常見的重要特徵)。
2，對“理性投資者”假設的質疑：投機心理，從眾心理，狂熱和恐慌等等非理性行為在歷史上是屢見不鮮的。對這一假設的質疑導致了行為金融學的產生。
3，EMH不能解釋市場崩潰等現象：它是一個均衡模型。
分形市場假說
投資者對信息的反應機制——線性還是非線性？
EMH要求人們對信息及時準確的做出反應，實際情況則要複雜得多。過度反應和反應不足普遍存在，而且其效應可能長期持續；“羊群效應”等等。資本市場是一個複雜系統而不是一個線性的隨機系統：投資者之間的相互影響(投機狂熱和恐慌的傳播)，政府的干預。
市場穩定的基本條件——“流動性”
Peters認為，流動性是確保市場穩定的關鍵因素，它是投資者的共同需要。當缺少流動性的時候，投資者會急於接收他們所能接收的任何價格，不管公平與否——這將導致市場的崩潰。EMH假定總有足夠的流動性，因此價格總是公平的，Peters認為這與事實相悖。
“流動性”的來源——不同的投資期限
市場中具有不同投資期限的投資者，投資者具有不同的信息集，不同投資者對“公平價格”的不同認識。
Peters指出，投資者不是同質的(Homogeneous)：投資期限不同(長期，短期)；投資策略不同(價值投資，技術分析)；對投資回報的設定不同等等。因此，同一條信息的重要性很大程度上是由投資者的投資期限等因素決定，對不同投資者是不同的。
市場的分形結構：
市場中的投資者們具有不同的投資期限(investmenthorizon)，這為市場運行提供了具備流動性和穩定性的環境。例如：5分鐘交易者遭受6西格瑪事件時(價格下跌超過6倍標準差)，具有較長投資期限的投資者將會跟進，從而穩定了市場。長期投資者之所以願意這樣做，是因為對於他的投資期限而言，5分鐘交易者的6西格瑪事件是很平常的。不同期限的投資者必須享有同樣的風險水平，否則這種市場結構不可能穩定存在，這就解釋了為何不同投資期限的收益率分布是相同的。
因為以上討論的市場情形具有“自相似”的統計結構，Peters把這種市場假說命名為分形市場假說(FMH).
FMH對市場崩潰的解釋：
市場中分形結構崩潰時，市場變得不穩定。其原因可能是具有較長投資期限的投資者由於某種因素(戰爭，政治危機等)對未來的預期變得高度不確定，當價格下跌時，他們不願意進入市場或者他們自己也變成短期投資者，這導致市場缺乏流動性而崩潰。
R/S分析等分析方法
Peters認為如果市場具有分形特徵，而不是獨立同分布的高斯系統，那么就需要引入新的統計方法。他提出R/S分析是一個很適合的方法。這是一個非參數方法，可以區分隨機和非隨機系統，發現趨勢的延續，循環的長度等等。
R/S分析的發展
R/S(Rescaledrange,重標級差)分析是赫斯特(Hurst,1900-1978)提出的，他最初的目的是研究水庫的存儲能力問題，為此他需要考慮水庫的水流量隨時間的變化，以便制定每年應該放多少數量的水。一般水文學家假定水庫的水流量是一個高斯隨機過程，這對於處理複雜生態系統來說是一個常用的假設(因為系統有很大的自由度)，但赫斯特從歷史數據(叢622-1469年，共847年)中發現，水流量似乎不是隨機的——它顯示出持續性，並且有循環的特徵，但是循環長度是非周期的。因此，Hurst發展了一套新的統計方法，也就是R/S分析。
R/S分析的用途之一：把時間序列劃分為不同類型
對於任何一個時間序列，用R/S分析法可以計算出其赫斯特指數H(取值範圍是[0,1]),根據不同H值可以把時間序列劃分為三個不同的類型。
H=0.5,時間序列是一個獨立過程(高斯隨機遊走是其中的一個特例)；0.5時間序列具有持續性，也就是說具有長期記憶的特徵。如果序列在前一個期間是向上的，下一個期間很可能也是向上。時間序列具有反持續性。這種時間序列比獨立隨機序列具有更強的突變性或易變性，頻繁出現逆轉。也就是說如果系統在前一個時期是向上走的，那么，在下一個時期多半是向下走的；如果前一個時期是向下的，則後一個時期多半會向上走。H的值越接近0系統越具備負相關性。
經驗研究發現，經濟系統中的大多數時間序列H>0.5,表明其中具有長期記憶效應，並不遵循隨機遊走。
R/S分析的用途之二：價格的有效預測區間的估計
金融時間序列中存在長期記憶，但這種記憶不是無限長的。這就如同自然分形和數學分形之間的關係：數學分形可以任意縮放，從無限小到無限大，然而自然分形受制於其物理特徵，到了某一點就不能再縮放下去了。通過對不同市場的經驗研究，可以得出這樣一個基本結論：資本市場的時間序列具有長而有限的記憶特徵，但各個市場不相同，各個品種之間也不相同。
R/S分析的用途之三：發現“非周期循環”並確定循環長度
R/S方法尤其適於分析非線性系統中的非周期循環，並確定循環長度。
商品價格的波動具有“周期性”的規律，但這並不是真正的周期。真正的周期是一個可以嚴格用正弦波來描述的，但實際上，價格的波動表現出來的更多是一種具有周期特徵的行為，但是沒有確定的周期(用頻譜分析等方法無法確定其周期長度)，這是混沌系統的基本特徵之一，可稱之為“非周期循環”。非線性動力學理論指出，非周期循環有一個平均的循環長度，換言之，一個未來的循環長度是不確定的，但它大致應位於平均的循環長度附近。R/S分析可以幫助我們確定非周期循環的平均循環長度。Peters研究發現，美國股票市場的循環長度大約是4年，債券市場大約是5年，美國工業生產也大約為5年。
對分形市場假說的評價：
雖然分形市場假說目前還很不成熟，但是它對資本市場中的某些明顯的現象，比如自增強(自我放大)特徵、泡沫經濟現象等，似乎要比有效市場假說具有更大的潛在解釋力。有效市場假說本質上是一個均衡的情形，而分形市場假說認為市場存在不同的狀態(例如分形結構的破壞導致崩潰)，這實際上是一個非均衡的演化模式。分形市場假說強調了市場流動性和投資者異質性的重要性，因為前者是市場穩定的前提，而後者是前者的保障。如果說在有效市場假說下，監管常常被人有時甚至是被政府本身置於投資行為的對立面的話(妨礙了“無形的手”)，那么在分形市場理論之下，政府要致力於投資主體多元化的發展，致力於信息的公開和知識的完善。
使用混沌理論和非線性方法的一些投資公司
Panagora資產管理公司(PanagoraAssetManagement,Boston)
Peters在該公司任職，1985年成立，管理約150億美元資產。該公司所用的模型是以線性回歸為基礎的，但非線性的研究為其提供了重要的幫助：用非線性分析方法評價所用模型的有效性；另外，用線性技術在短期內預測一個非線性系統是有可能的。
預測公司(thePredictionCompany,SantaFe)該公司是使用非線性技術的投資公司中最有名的幾個之一，因為其創始人是非線性和混沌理論領域公認的專家。他們使用的方法包括遺傳算法，決策樹，神經網羅和其他非線性回歸方法。相信“市場收益率有隨機的周期，後面跟隨的是可預測的小塊”。這是一家真正的數量分析投資公司，“交易完全是由模型管理的，沒有人為干預”
TLB合夥公司(TLBPartners,NewYork)
這家公司使用神經網路，遺傳算法和赫斯特指數等分析方法。改公司的領導者梅(C.May)是一個非線性科學的專家，他的投資期限大概是6－9個月。
LBS資本管理公司(LBSCapitalManagement,FLA)
該公司使用神經網路和遺傳算法等非線性方法，管理著6億美元。這是一家半數量分析公司，也就是說公司並不完全依賴模型，有時候會根據人為判斷推翻模型的決策。
