歷史和動機
今天叫做 海涅-博雷爾定理的歷史開始於十九世紀對實分析的堅實基礎的尋覓。理論的中心是一致連續的概念和聲稱所有閉區間上的連續函式是一致連續的定理。狄利克雷首先證明了它，並隱含的在他的證明中利用了閉區間的給定開覆蓋的有限子覆蓋的存在性。他在1862年的演講中使用了這個證明，並在1904年得以出版。後來 Eduard Heine、卡爾·魏爾斯特拉斯和 Salvatore Pincherle 使用了類似的技術。埃米爾·博雷爾在1895年首次發表並證明了一種形式的現在的海涅-博雷爾定理。他的公式化受限制於可數覆蓋。昂利·勒貝格(1898年)和 Schoenflies(1900年) 把它推廣到了任意覆蓋。
定理內容
對於歐幾里得空間Rn 的子集 S，下列兩個陳述是等價的:
•S 是閉合併且有界的
•所有 S 的開覆蓋有有限子覆蓋，就是說 S 是緊緻的。
在實分析的文章中，前面性質有時用做緊緻性的定義性質。但是在考慮更一般的度量空間的子集的時候這兩個定義就不再等價了，在這種一般情況下只有後者還用於定義緊緻性。事實上，對任意度量空間的 Heine–Borel 定理為:度量空間的子集是緊緻的，若且唯若它是完備的並且完全有界的。
定理的討論
1、 如果一個集合是緊緻的，則它必定是閉合的。
設集合S是Rn的子集。首先證明一個引理：若a是S的一個極限點，則任意有限個開集U，其中U與a的某鄰域VU不相交，所組成的開集族C不能構成S的一個開覆蓋。實際上，所有的VU的交集是a的一個鄰域，記為W。由於a是S的一個極限點，W必須包含一個屬於S的點x。而由於x不被包含於C，故開集族C不能構成S的一個開覆蓋。
若S是緊集但不是閉集，則存在S的一個極限點a，它不屬於S。考慮一個開集族C’，其中C’是由所有S中的點x的某個鄰域 N(x)所組成的，其中每個鄰域N(x)足夠小，使得其與a的某個鄰域不相交。則C’構成S的一個開覆蓋，但是C’的任意有限子集符合引理條件，故不可能構成S的開覆蓋。由此，與S的任意開覆蓋存在有限子覆蓋矛盾。故S是閉的。 這個證明也可以說明任意Hausdorff空間的緊集是閉集。
2、如果一個集合是緊緻的，則它是有界的。
考慮以一個公共點為中心有任何半徑的那些開球。這可以覆蓋任何集合，因為在這個集合中所有點都用與那個點有某種距離。這個覆蓋的任何有限覆蓋必定是有界的，因為它會被界定在這個子覆蓋的最大開球內。因此，這個子覆蓋的所覆蓋的任何集合都必定是有界。
3、 緊緻集的一個閉子集是緊緻的
海涅－博雷爾定理 海涅－博雷爾定理令 K為 上的一個緊緻集 T的一個閉子集，令 C為 K的一個開覆蓋。 那么 U= \ K是一個開集並且
海涅－博雷爾定理
海涅－博雷爾定理
海涅－博雷爾定理是 T的一個開覆蓋。由於 T是緊緻的, 那么 C有一個有限的子覆蓋 同樣覆蓋更小的集合 K。因為 U不包含 K的任何點, 集合 K已經被 覆蓋，它是原始族 C的一個有限子族。那么就能夠從 K得任意開覆蓋 C中篩選出一個有限的子覆蓋。
4、 如果一個集合封閉且有界，那么它是緊緻的。
海涅－博雷爾定理如果內的一個集合 S是有界的，那么它可以被包圍在 n維盒中
海涅－博雷爾定理其中 a> 0。由上述性質，足夠說明 T是緊緻的。
推廣
真正推廣到任意度量空間為:
度量空間的子集是緊緻的，若且唯若它是完備的和完全有界的。這種推廣也適用於拓撲向量空間，更一般適用於一致空間。
下面是證明的 "⇒" 部分的梗概，依據於讓·迪厄多內，在一般度量空間的上下文中:
明顯的任何緊緻集合 E 都是完全有界的。
設 (xn) 是在 E 中任意柯西序列；並設 Fn 是在 E 中集合 { xk : k ≥ n } 的閉包並且 Un := E − Fn。如果所有 Fn 的交集為空，則 (Un) 將是 E 的開覆蓋，因此將有 E 的有限子覆蓋 (Unk)，因此 Fnk 將為空，這蘊涵了 Fn 對於所有大於任何 nk 的 n 為空，這是個矛盾。所以所有 Fn 的交集非空，而在這個交集中的任何點都是序列 (xn) 的會聚點。
柯西序列的任何會聚點都是極限點 (xn)；所以任何 E 中柯西序列收斂在 E 中，換句話說，E 是完備的。
證明的 "<=" 部分的梗概如下:
如果 E 不是緊緻的，則將存在 E 的覆蓋 (Ul)l 有著 E 的無限子覆蓋。利用 E 的完全有界性來遞歸的定義在 E 中的球序列 (Bn) 帶有
Bn 的半徑是 2−n；
沒有 Bn 的有限子覆蓋 (Ul∩Bn)l；
Bn+1 ∩ Bn 非空。
設 xn 是 Bn 的中心點並設 yn 是 Bn+1 ∩ Bn 中的任何點；因此我們有 d(xn+1, xn) ≤ d(xn+1, yn) + d(yn, xn) ≤ 2−n−1 + 2−n ≤ 2−n+1。可得出對於 n ≤ p < q: d(xp, xq) ≤ d(xp, xp+1) + ... + d(xq−1, xq) ≤ 2−p+1 + ... + 2−q+2 ≤ 2−n+2。因此，(xn) 是 E 中的柯西序列，收斂於 E 中的某個極限點 a，因為 E 是完備的。
海涅－博雷爾定理
海涅－博雷爾定理 海涅－博雷爾定理 海涅－博雷爾定理設是索引使得包含 a；因為 (xn) 收斂於 a 而是開集，有一個大 n 使得球 Bn 是的子集 - 這矛盾於 Bn 的構造。
"=>" 部分的證明可輕易的推廣到任意一致空間，但是 "<=" 部分的證明更加複雜並等價於超濾子原理 ，一種形式的選擇公理。 (在一般度量空間中，"<=" 方向要求依賴選擇公理)。
