海倫三角形

海倫三角形（Heron triangle） 一種特殊三角形。指邊長為連續的三個正整數。而且其面積也是正整數的三角形。是海倫（Heron）研究海倫公式得到的一種特殊情況。例如：邊長為3,4,5 ；13,14,15 ；51,52,53 ；193,194,195 等的三角形均為海倫三角形。（引自《數學辭海（第一卷）》133頁）。 注意：海倫的三角形求積公式不是海倫三角形的求積公式。 需要注意的是：海倫提出的三角形面積計算公式，與海倫三角形不同。海倫計算三角形面積公式是通用的，我國秦九韶提出與海倫公式等價的三斜求積公式。因此，也稱為海倫-秦九韶求積公式。 基本定義不同，以下或可稱為廣義海倫三角形，可做參考。 如果一個三角形的三邊長都是正整數，而且它的面積也是整數，這樣的三角形稱為海倫三角形。

性質

任何邊長為勾股數組的三角形都是海倫三角形，因為邊長都是整數，而它的面積是兩個直角邊的積的一半，所以是有理數。

一個不含直角的海倫三角形的例子，是邊長為5、5和6的三角形，它的面積是12。這個三角形可由兩個邊長為3、4和5的直角三角形拼合而成。這種方法一般都是有效的。我們取兩個邊長分別為（ a， b， c）和（ a， d， e）的直角三角形，並把它們拼合起來，便得到一個邊長為 c、 e和 b + d的三角形，其面積為：

A=1/2(b+d)a　那么是不是任何海倫三角形都可以由兩個邊長為整數的直角三角形拼合而成呢？答案是否定的。例如邊長為0.5、0.5和0.6的海倫三角形，就不能分割成邊長為整數的兩個較小的三角形。邊長為5、29、30的三角形（面積為72）也不行，因為它的任何一個高都不是整數。但是，任何海倫三角形都可以由兩個邊長為 有理數的直角三角形拼合而成。

定理

給定一個海倫三角形，總可以把它分割成兩個邊長為有理數的直角三角形。

海倫三角形的公式

利用以下的公式，可以得出所有的海倫三角形：

a=n（m^2+k^2）b=m（n ^ 2+k ^ 2)c=（m+n）（mn-k^2） 其中m，n和k是有理數。

海倫三角形面積公式

設三角形ABC三邊長為a、b、c

r=（a+b+c）/2

則S△ABC=sqrt(r*(r-a)*(r-b)*(r-c))