定義
若數項級數各項的符號都相同，則稱它為同號級數。對於同號級數，只需研究各項都是由正數組成的級數，稱它為正項級數。如果級數的各項都是負數，則它乘以-1後就得到一個正項級數，它們具有相同的斂散性。
正項級數
正項級數換句話說，若 ，則稱 級數 為 正項級數。
收斂性判別
部分和數列判別法
正項級數 正項級數
正項級數 正項級數正項級數的部分和數列 是單調增加的數列即： ， 收斂的充要條件是有界，因此有：
正項級數 正項級數
正項級數
正項級數
正項級數正項級數 收斂的充要條件是：它的部分和數列 有界，即存在某正數 ，對於一切正整數 有 。
比較原則
正項級數
正項級數
正項級數
正項級數
正項級數設 和 是兩個正項級數，如果存在某正數 ，使得對一切 都有 ，則有：
正項級數 正項級數（1）若級數 收斂，則級數 也收斂；
正項級數 正項級數（2）若級數發散，則級數也發散。
比式判別法（達朗貝爾判別法）
正項級數
正項級數
正項級數設 為正項級數，且存在某正常數 及常數 。
正項級數
正項級數 正項級數（1）若對一切 ，成立不等式 ，則級數 收斂；
正項級數
正項級數 正項級數（2）若對一切 ，成立不等式 ，則級數 發散。
比式判別法的極限形式：
正項級數
正項級數設 為正項級數，且 ，則有：
正項級數 正項級數（1）當 時，級數 收斂；
正項級數
正項級數 正項級數（2）當 或 時，級數 發散。
正項級數
正項級數
正項級數
正項級數 正項級數 正項級數注意：若 ，這時用比式判別法不能對級數的斂散性做出判別，因為它可能是收斂的，也可能是發散的，例如級數 和 ，他們的比式極限都是 ，但 是收斂的， 卻是發散的。
根式判別法（柯西判別法）
正項級數 正項級數
正項級數設 為正項級數，且存在某正常數 及正常數 。
正項級數
正項級數 正項級數（1）若對一切 ，成立不等式 ，則級數 收斂；
正項級數
正項級數 正項級數（2）若對一切 ，成立不等式 ，則級數 發散；
柯西判別法的極限形式：
正項級數
正項級數
正項級數 正項級數設
為正項級數，且，則：（1）當時，級數收斂；
正項級數 正項級數（2）當 ，級數 發散。
正項級數 正項級數 正項級數
正項級數 正項級數 正項級數注意：若 ，這時用根式判別法不能對級數的斂散性做出判別，因為它可能是收斂的，也可能是發散的，例如級數 和 ，他們的比式極限都是 ，但 是收斂的， 卻是發散的。
積分判別法
積分判別法是利用非負函式的單調性和積分性質，並以反常積分為比較對象來判斷正項級數的斂散性。
正項級數
正項級數
正項級數
正項級數設 為 上非負減函式，那么正項級數 與反常積分 同時收斂或同時發散。
典例
p級數
正項級數
正項級數
正項級數討論 級數 的收斂性，其中常數 。
解：分兩種情況討論，
正項級數 正項級數
正項級數
正項級數 正項級數（1）當 ， 級數的各項大於等於調和級數 的對應項，即 ，由於調和級數發散，因此根據比較判別法可知，此時 級數發散。
正項級數 正項級數
正項級數（2）當 時，記 級數的部分和為： .
正項級數
正項級數
正項級數當 時，取 ，則有 ，所以有：
正項級數
正項級數從而
正項級數即有 。
正項級數 正項級數
正項級數 正項級數 正項級數這表明當時， 級數的部分和有界。因此，當時，級數收斂。
例2
正項級數討論正項級數的斂散性。
解：
正項級數 正項級數
正項級數（1）當時，對一切都有，因此級數發散。
正項級數 正項級數
正項級數
正項級數
正項級數（2）當時，對一切都有，而為收斂的等比數列，因此級數收斂。
