黎曼級數定理

黎曼級數定理

對於無窮級數∑an,其部分和為Sn=∑ak:。如果部分和的數列〔S1,S2,S3,...〕

定理定義

對於無窮級數∑an,其部分和為Sn=∑ak:。如果部分和的數列〔S1,S2,S3,...〕

收斂於某個數 L,則級數收斂。也就是說,對於任何的ε > 0,總存在一個整數 N,使得如果n≥N,則∣Sn-L∣≤ε

.如果級數∑an收斂,但級數∑∣an∣發散,則稱此級數是條件收斂的。

假設∑an是一個條件收斂的無窮級數。對任意的一個實數 M,都存在一種從自然數集合到自然數集合的排列σ( n),使得∑an=m

此外,也存在一種排列σ( n),使得∑an=∞

類似地,也可以有辦法使它的部分和趨於-∞,或沒有任何極限。

驗證推導

對一般的條件收斂級數,也可以用以上的算法來證明黎曼級數定理。上文中有關交錯調和級數的算法之所以成立,原因有二:首先,所有正項構成的級數發散到正無窮大,所有負項構成的級數發散到負無窮大,所以每次超出(低於)目標值{\displaystyle C}以後,只要不停地累加,必然能夠再次低於(超出)目標值{\displaystyle C};其次,調和級數是由{\displaystyle {\frac {1}{n}}}相加而成,而隨著{\displaystyle n}趨向無窮,{\displaystyle {\frac {1}{n}}}趨向於0,也就是說“步長”趨向0,所以最終能夠收斂。所以只需要證明,任何條件收斂級數都滿足這兩個性質:

所有正項構成的級數和所有負項構成的級數都是發散的;

級數的項隨著項數趨於無窮而趨於0.

1.

所有正項構成的級數和所有負項構成的級數都是發散的;

2.

級數的項隨著項數趨於無窮而趨於0.

就能證明黎曼級數定理成立了。

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