級數收斂的定義
根式判別法
根式判別法
根式判別法
根式判別法
根式判別法 根式判別法
根式判別法 根式判別法
根式判別法設有數列 ，此數列的項依次用加號連線起來，即 ，或 ，稱為數值級數，其中 稱為級數的第 項或通項，取級數前 項的和為 ，稱為級數的 項部分和。若級數的部分和數列 收斂，稱此級數收斂，否則，稱該級數發散 。
根式判別法
定理 (根式判別法)
根式判別法
根式判別法
根式判別法有正項級數 ，存在常數 及 ，
根式判別法1）若對一切 ，成立不等式
根式判別法 根式判別法則級數 收斂。
根式判別法2）若對一切 ，成立不等式
根式判別法 根式判別法則級數 發散。
證明：由1）中條件有
根式判別法
根式判別法 根式判別法因為上式右邊等比級數當 時收斂，故由比較原則，這時有級數 也收斂。對於情形 2），由條件可以推出
根式判別法這顯然是不可能的，由級數收斂的必要條件可知，級數是發散的。 證畢。
推論1（根式判別法的極限形式）
根式判別法設有正項級數 ，且
根式判別法則
根式判別法 根式判別法1）當 時，級數 收斂。
根式判別法 根式判別法2）當 時，級數 發散。
推論2
根式判別法設有正項級數 ，且
根式判別法則
根式判別法 根式判別法1）當 時，級數 收斂。
根式判別法 根式判別法2）當 時，級數 發散。
根式判別法的局限性
根式判別法根式判別法本質上還是比較判別法，是將級數和幾何級數 比較得到的，是在正項級數斂散性判別中是一個十分重要的方法，不少級數均可依此法判別其斂散性。
根式判別法
根式判別法 根式判別法
根式判別法從理論上來說，凡是能用比式判別法判斷其斂散性的級數，必定也能用根式判別法來判斷其斂散性，但反之不成立。這說明根式判別法較比較判別法有更大的適用性，但是，根式判別法也有其失效性。在根式判別法只討論了 的情況,並沒有考慮 的情況,也沒有考慮 不存在又是怎樣的情況。例如 都有
根式判別法但前者收斂，後者發散。這說明這種判別法存在著一定的不足。
