定義
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在空間直角坐標系中,任給一點P,設 是點 在 面上投影點的極坐標, 是點 的豎坐標,則稱 是點 的 柱面坐標(見圖1),記為 ,其中 (或 ), 。
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求曲面的柱面坐標方程的方法
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求曲面的柱面坐標方程的方法與步驟,和求直角坐標方程類似,就是把曲面看作適合某種條件的點的集合或軌跡,將已知條件用曲面上點的柱面坐標 和 的關係式表示出來,就得到曲面的柱面坐標方程 。
柱坐標的坐標面
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特別地,方程 表示以 為軸的圓柱面; 表示過 軸的半平面; 表示垂直於 軸的平面,這三組面兩兩垂直,稱為 柱面坐標的坐標面,坐標面的交線稱為 坐標線。從圖2可知,空間每一點P總可看作位於某一母線平行於z軸的圓柱面上,並有三條坐標線(過P垂直於z軸的射線、平行於z軸的直線和圓心在z軸且與z軸垂直的圓周)通過,所以把 稱為點P的柱面坐標由此而來。
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當(常數)時,坐標面為柱面;
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當(常數)時,坐標面為平面;
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當(常數)時,坐標面為半平面(見圖3).
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柱面坐標變換
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空間中的任意點P的位置由3個參數 給出,其意義如圖2所示, 稱為柱面坐標。
從其與空間直角坐標系的關係得變換如下,此變換稱為 柱坐標變換。
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其中
柱坐標的體積微元
柱坐標的體積微元由6個坐標面圍成。
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(1)半平面
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(2)圓柱面
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(3)平面
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由於 所以 見圖(4)。
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柱坐標的換元公式
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如果 在V上連續,在變換
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其中

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下,有則
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值得注意的是,當r=0時,上面的公式亦成立.
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在計算中,通常找出V在的投影區域D,即
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從而得,然後在二重積分中利用極坐標變換即可.
化曲面的普通方程化為柱面坐標方程
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設P點的柱面坐標為,點 滿足
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或
利用上述公式,可以化曲面的普通方程化為柱面坐標方程:
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一般來說,如果一個曲面以z軸為對稱軸,並且普通方程中含有 那么使用柱面坐標方程表示該曲面,可能會更簡單。
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例如,半球面旋轉拋物面 錐面 化為柱坐標方程分別為 。而橢球面 的柱面方程為 。