命名

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朗伯W函式(Lambert W Function)由約翰·海因里希·朗伯(Johann HeinrichLambert)命名。在Digital Library of Mathematical Functions(儲存特殊函式的數學運用的一個網路項目)中主分支
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被表示為


,分支 被表示為 。
微分與積分
微分

滿足微分方程

所以

此外,我們有

積分




函式 或一些包含 的表達式可運用代換 進行積分。( )

特殊的有

漸近展開式

函式 有泰勒展開式


收斂半徑為 。


對於大的數 , 有漸近展開式

和




其中 , , 是非負的第一類斯特靈數(Stirling number of the first kind)。
在展開式中只留前兩項





另一分支 ,當 時有相似的漸進展開式, , 。
複數次方

的平方有泰勒公式


更一般的情況下,當 是整數,有



的 次方有泰勒公式



其中 是任意複數,
恆等式
用朗伯W函式的定義,我們有









特殊值





當 為一非0的代數數時, 為超越數。如果 為非0的代數數,運用林德曼-魏爾斯特拉斯定理(Lindemann–Weierstrass theorem) , 一定是超越的,因此 也是超越數。






其中 為歐米加常數(Omega constant) 。




舉例介紹



朗伯W函式可以解許多包含指數函式 的方程。其中主要的方法是把所有未知數移向一邊,令方程變成 形式,解出 。
例子1

更一般的


其中 ,可以使用代換


解出

因此最後答案為

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如果 ,方程有第二個解
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例子2

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

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或

因為根據定義,有

例子3

關於超-4運算(tetration,另見超運算)的方程

如果超運算收斂至一個數 ,則

解出

例子4

的解為

例子5
延遲微分方程(delay differential equation)


的特徵方程為
解出




其中 為朗伯W函式的分支。如果 ,則只用考慮其主分支 。
數值估算


朗伯W函式可以用牛頓疊代法(Newton's method)求其近似值 使 。

函式亦可以使用哈雷疊代法(Halley's method)求近似值。
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