基本介紹
設S是格,如果存在元素a∈S,對於任意的x∈S,都有a≼x,則稱a為格S的全下界;如果存在元素b∈S,對於任意的b∈S,都有x≼b,則稱b為格S的全上界。
定理 設S是格,若格S存在全下界或全上界,則一定是唯一的。
證明先證明全下界若存在,則必定唯一。
假設格S有全下界a和b,a,b∈S,根據全下界的定義有a≼b和b≼a。再根據偏序關係≼的反對稱性,必有a=b。即全下界唯一。
同理可證全上界若存在必唯一。
由於全上界和全下界的唯一性,一般將格S的全下界記為0,全上界記為1。
有界格 設S是格,若S存在全下界和全上界,則稱該格為有界格,並將S記為(S,∨,∧,0,1)。
【例1】設S是一個集合,則S的冪集格P(S)是有界格,其中空集∅是全下界,集合S是全上界。
【例2】 (1)設A是有限集合,則<P(A),⊆>的零元是∅,單元是A。
(2)在正整數集合Z、關於整除關係構成的格中,零元是1,無單元。
(3)在整數集合Z關於小於等於關係構成的格中,無零元,無單元 。
定理
定理1 任何有限格一定是有界格。
定理2 設S是一個有界格,則對任意的a∈S有
a∨1=1,a∧1=a,a∨0=a,a∧0=0。
證明
因為a∨1∈S,且1是全上界,所以a∨1≼1,又因為1≼a∨1,因此a∨1=1。
因為a≼a,a≼1,所以口a≼a∧1,又因為a∧1≼a,因此a∧1=a。類似可證其餘二式成立 。