有界格

有界格

有界格是具有最大元與最小元的格,通常以0,1分別記最小元與最大元.有限個元素a1,a2,…,an所構成的格是有界格,其最小元是a1·a2·…·an,最大元是a1+a2+…+an 。

基本介紹

設S是格,如果存在元素a∈S,對於任意的x∈S,都有a≼x,則稱a為格S的全下界;如果存在元素b∈S,對於任意的b∈S,都有x≼b,則稱b為格S的全上界。

定理 設S是格,若格S存在全下界或全上界,則一定是唯一的。

證明先證明全下界若存在,則必定唯一。

假設格S有全下界a和b,a,b∈S,根據全下界的定義有a≼b和b≼a。再根據偏序關係≼的反對稱性,必有a=b。即全下界唯一。

同理可證全上界若存在必唯一。

由於全上界和全下界的唯一性,一般將格S的全下界記為0,全上界記為1。

有界格 設S是格,若S存在全下界和全上界,則稱該格為有界格,並將S記為(S,∨,∧,0,1)。

【例1】設S是一個集合,則S的冪集格P(S)是有界格,其中空集∅是全下界,集合S是全上界。

【例2】 (1)設A是有限集合,則<P(A),⊆>的零元是∅,單元是A。

(2)在正整數集合Z、關於整除關係構成的格中,零元是1,無單元。

(3)在整數集合Z關於小於等於關係構成的格中,無零元,無單元 。

定理

定理1 任何有限格一定是有界格。

定理2 設S是一個有界格,則對任意的a∈S有

a∨1=1,a∧1=a,a∨0=a,a∧0=0。

證明

因為a∨1∈S,且1是全上界,所以a∨1≼1,又因為1≼a∨1,因此a∨1=1。

因為a≼a,a≼1,所以口a≼a∧1,又因為a∧1≼a,因此a∧1=a。類似可證其餘二式成立 。

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