基本簡介
希波克拉底的證明。首先，
AB，且與半圓相交於C，並連線AC與BC。平分AC於D，然後，以D為圓心，以AD為半徑作半圓AEC，這樣，就形成了新月形AECF
希波克拉底的證明方法既簡單又高明。首先，他必須證實所論證的新月形與圖中陰影部分的△AOC面積完全相等。這樣，他就可以套用已知的三角形能表示為等價平方的公理來斷定新月形也可用等價平方表示。這一經典論證的詳細過程如下：
詳細過程
定理：新月形AECF可用等價平方表示。
證明；由於∠ACB內接於半圓，所以，∠ACB是直角。根據“邊角邊”
勾股定理，就得到
因為AB是半圓ACB的直徑，AC是半圓AEC的直徑，所以，我們可以套用上述第三條原理，即得到
也就是說，半圓AEC的面積是半圓ACB面積的一半。
我們現在來看扇形AFCO（“扇形”是圓的四分之一）。顯然，這一扇形也是半圓ACB面積的一半，據此，我們可直接得出
面積（半圓AEC）=面積（扇形AFCO）
最後，我們只需從這兩個圖形中各自減去它們共同的部分AFCD，如圖1.16所示，即
面積（半圓AEC）—面積（AFCD部分）
=面積（扇形AFCO）—面積（AFCD部分）
我們從圖中可以很快看出，剩下的部分就是
面積（新月形AECF）=面積（△ACO）
我們已知，我們可以作一個正方形，使其面積等於三角形ACO，因而也等於新月形AECF的面積。這就是我們所尋求的化新月形為方的問題。 證訖。
這的確是數學上的一大成就。評註家普羅克洛斯（公元410—485年）以他五世紀的眼光，認為希俄斯的希波克拉底“……作出了新月形的等面積正方形，並在幾何學中做出過許多其他發現，是一位作圖的天才，如果曾經有過這種天才的話。”
月牙形是一種邊緣為兩個圓弧的平面圖形。希波克拉底並沒有作出所有月牙形的等面積正方形，而只求出了一種他精心構造的特定月牙形的面積。（本章“後記”將會闡述，似乎正是這一點造成了後人對希臘幾何的誤解。）希波克拉底的論證是建立在3個初步結論之上的：
畢達哥拉斯定理。
半圓上的圓周角是直角。
兩個圓形或半圓形面積之比等於其直徑的平方比。
前兩個結論在希波克拉底之前很久便已為人所知。而最後一個結論卻十分複雜。兩個圓或半圓面積之比是基於以其直徑為邊長所作的兩個正方形面積之比的（見圖1-14）。例如，如果一個半圓的直徑是另一個半圓直徑的5倍，則第一個半圓的面積是第二個半圓面積的25倍。然而，這一命題卻給數學史家提出了一個問題，因為人們普遍懷疑希波克拉底是否確曾對此作出過正確的證明。他很可能認為他能夠證明這一結論，但現代學者普遍認為，這一定理（後來被列入歐幾里得《幾何原本》第十二卷的命題2）所提出的邏輯難題遠非希波克拉底所能夠解決的。（這一定理的推導過程在第4章介紹。）
暫且拋開這個問題不談，我們先來看看希波克拉底的證明。首先，以O為圓心，以AO=OB為半徑作半圓，如圖1-15所示。作OC垂直於AB，其交半圓於C，並連線AC與BC。平分AC於D，然後以D為圓心，以AD為半徑作半圓AEC，這樣就形成了月牙形AECF，如圖1-15中陰影部分所示。
希波克拉底的證明方法既簡單又高明。首先，他必須證實所論證的月牙形與圖中陰影部分的△AOC面積恰好完全相等。這樣，他就可以套用已知的三角形能表示為等積正方形的公理來斷定月牙形也可用等積正方形表示。這一經典論證的詳細過程如下。
【定理】月牙形AECF可用等積正方形表示。
【證明】由於∠ACB為半圓上的圓周角，所以，∠ACB是直角。根據“邊角邊”全等定理，三角形AOC和BOC全等，因此，AC=BC。然後，我們套用畢達哥拉斯定理，就得到
因為AB是半圓ACB的直徑，AC是半圓AEC的直徑，所以，我們可以套用上述第三條結論，即得到
也就是說，半圓AEC的面積是半圓ACB面積的一半。
我們現在來看四分之一圓AFCO。顯然，這個四分之一圓也是半圓ACB面積的一半，據此，我們可直接得出
面積（半圓AEC）=面積（四分之一圓AFCO）
最後，我們只需從這兩個圖形中各自減去它們共同的部分AFCD，如圖1-16所示，即
面積(半圓AEC)-面積(AFCD部分)
=面積(四分之一圓AFCO)-面積(AFCD部分)
我們從圖中可以很快看出，剩下的部分就是
面積(月牙形AECF)=面積(△ACO)
我們已經知道，可以作一個正方形，使其面積等於三角形ACO，因而也等於月牙形AECF的面積。這就是我們所尋求的化月牙形為方的問題。證畢
這的確是數學上的一大成就。評論家普羅克洛斯（公元410—485）以他5世紀的眼光認為，希俄斯的希波克拉底“……作出了月牙形的等面積正方形，並在幾何學中做出過許多其他發現，如果說那個時代有一位作圖的天才，那一定非他莫屬。”
