希波克拉蒂月牙問題

理解

以直角三角形兩直角邊為直徑向外作兩個半圓，以斜邊為直徑向內作半圓，則三個半圓所圍成的兩個月牙（希波克拉底月牙）面積的和等於該直角三角形的面積。這個定理叫作希波克拉底的“月牙定理”（Hippocrate's Theorem）。

推理

題1

以AB為直徑作一半圓，取弧AB一點C，分別以AC、CB為直徑作半圓，兩個半圓與大的半圓的不重合部分即為新月
因為直徑所對圓周角為直角，三角形ABC為直角三角形， 由勾股定理AC^2+BC^2=AB^2 S(AC)=(1/2)πAC^2; S(BC)=(1/2)πBC^2; S(AB)=(1/2)πAB^2 所以S(AC)+S(BC)=S(AB) 兩邊同減去公共部分即得新月部分面積和等於直角三角形的面積 其中S(AC)表示以AC為直徑的半圓面積，依此類推例題有一個著名的希波克拉蒂月牙問題.如圖：以AB為直徑作半圓，C是圓弧上一點，（不與A、B重合），以AC、BC為直徑分別作半圓，圍成兩個月牙形1、2（陰影部分）.已知直徑AC為4,直徑BC為3,直徑AB為5. （1）分別求出三個半圓的面積； （2）請你猜測：這兩個月牙形的面積與三角形ABC的面積之間有何等量關係

解答

1）2.5*2.5*3.14\2=9.8125(直徑5的) 1.5*1.5*3.14\2=3.5325（直徑3的） 2*2*3.14\2=6.28（直徑4的）（2）面積是一樣的，都是6