曲線平行
引子
一般說到平行，人們想到的都是直線之間的平行，其實除了直線間的平行外，還有曲線之間的平行。而直線之間的平行只是曲線之間的平行的特例罷了。
同心圓就是相互平行的。當圓的半徑無限大的時候，圓就變成了直線，同心圓之間的平行也就變成了直線之間的平行了。
如何判斷圓與圓之間的平行呢？
上圖為平面上的兩個圓，假設小圓的半徑為r，大圓的半徑為r＋δ，CG為截這兩個圓的一條直線，這條直線與大圓有交點B，與小圓有交點A，E為大圓在B點的切線，F為小圓在A點的切線，a為A點到B點的距離，∠CBE為β，∠CAF為α 。
我們可以很容易的證明：
當：
a^2=r^2+(r+δ)^2-2r(r+δ)cos(β-α)（餘弦定理）
時，
這兩個圓平行，或者說同心。而δ則是這兩個圓之間的距離。
由對公式的分析可見，當R趨於無限大的時候，也就是圓趨於直線的時候，β與α趨於相等（是的，在平面幾何中，平行直線被第三條直線所截的時候，同位角的確是相等的）。所以我們說直線的平行只是圓的平行的特例。圓的平行是更廣義的平行。而直線的平行只是狹義的平行。
當然除了圓這樣的平行以外，還是一般的曲線的平行，也還有曲面的平行，比如說同心球面的平行，橢圓面與橢圓面的平行等等。
線
分成直線和曲線。我們一般把線理解成直線，這是片面的。直線可以向兩端無限延伸，曲線也可以向兩端無限延伸，但不是所有的曲線都可以向兩端無限延伸的，比如說圓，圓這樣的曲線就是長度有限的曲線。
射線
射線是向一端發射出去的線，而射線未必是直的，射線可以是直的，也可以是彎曲的（比如說磁場中的伽馬射線等）。射線有一個端點，叫原點。
線段
線段是具有兩個端點的線，當然線段也未必都是直的，線段也可以是彎曲的（比如說圓弧等）。直的線段叫直線段，彎曲的線段就叫曲線段。
距離
兩點之間的直線段的長度叫兩點之間的距離。
角
由一點引出的兩條射線所形成的圖形角做角。所以角的邊可以是直的，也可以是彎曲的。
垂直
如果兩條線相交成直角，那么這兩條線垂直。所以垂直未必是直線之間的垂直，也可以是曲線之間的垂直。
對頂角
曲線的相交的時候也存在對頂角，而且這兩個角也是相等的，這與直線相交的時候的對頂角相等的道理是一樣的。
平行線
平行線可以分成直線平行線和曲線平行線。如果說在直線平行中，兩條保持距離不變的直線是互相平行的，那么在曲線的平行中，距離保持不變的兩條曲線也是平行的。比如說同心圓就是互相平行的兩條曲線。直線的平行只是曲線的平行的特例，而曲線的平行則是更一般的平行。
平行線的判定
如果一條直線上任意一點的法線也是另一條直線的法線的話，那么這兩條直線平行（也就是說同位角總是等於90度，那么這兩條直線平行）。如果一條曲線上任意一點的法線也是另一條曲線的法線，那么這兩條曲線平行。
三角形
由三條線段所圍成的封閉圖形叫做三角形。由於線段可以是直的，也可以是彎曲的，所以三角形的邊未必是直的，三角形的邊也可以是彎曲的。所以三角形有直邊三角形，也有曲邊三角形。
三角形的內角和
由於三角形有直邊的也有曲邊的 ，所以三角形的內角和未必等於180度，直邊三角形的內角和等於180度，而曲邊三角形的內角和大於或小於180。
