概念
代數拓撲中的一個重要概念,又稱覆蓋空間。設p:塣→X是連續映射,如果在X中,每一點x都有開鄰域U,使得p-1(U)是塣中一組互不相交開集{Uα}的並集,且p 限制在每個Uα上都是從Uα到U 的同胚,則稱p 是復疊映射,塣是X 的一個復疊空間。 例如,由
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復疊映射的提升性質
復疊映射是一個纖維映射,即它對任何空間都有同倫提升性質(見同倫論)。此外,它還有更多的提升性質:映射提升定理
設Y連通、局部道路連通,y0∈Y,又設ƒ:Y→X 是連續映射,x0=ƒ(y0),取定慜0∈p_1(x0),則ƒ 有提升 愝: Y→塣 使 愝(y0)= 慜0 的充分必要條件是ƒ
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映射提升惟一性定理
設Y連通,ƒ:Y→X是連續映射,ƒ的兩個提升愝,愝┡:Y→塣如果對某點y∈Y有愝(y)= 愝┡(y),那么愝=愝┡。
用這兩個定理不難推出,當n>1時,復疊映射 p所誘導的同態p:πn(塣)→πn(X)是同構,而p:π1(塣)→π1(X)是單同態。
泛復疊空間
當P(π1(塣))是π1(X)的正規子群時,稱塣是X的正則復疊空間;如果塣是單連通的,則稱塣是X的泛復疊空間,它是最常用的復疊空間。
當一個拓撲空間X連通,局部道路連通與半局部單連通時,它一定存在泛復疊空間。
復疊變換群
是復疊空間塣 的自同胚群的一個子群,它由全體滿足p。φ =p的自同胚φ(稱為復疊變換)組成。
如果塣是泛復疊空間,並且X道路連通,則塣上的復疊變換群同構於π1(X),利用這個事實可計算某些空間的基本群。例如E1是S1的泛復疊空間,E1上的復疊變換就是移動距離是整數的平移,從而復疊變換群≌Z,這樣就得到。又如n≥2時,Sn是Pn的泛復疊空間,復疊變換隻有兩個:恆同映射與對徑映射,於是
。除了可用來計算基本群外,復疊空間在不動點理論的研究中是一種有效工具,並且在代數拓撲各個領域和幾何拓撲中還有廣泛的套用。