斯特恩-蓋拉赫實驗
概述
英文名 Stern-Gerlach experiment使用的是銀原子（Ag），銀原子的電子結構是：2, 8, 18, 18, 1（[Kr] 4d10 5s1）。最外層是5s1，即一個5s電子，除去最外層電子外，其他為滿殼層。相比較於電子的磁矩，原子的磁矩可以忽略不計。
因此只需考慮電子運動導致的磁矩，而除最外層5s電子外，其他電子軌道角動量、自旋角動量恰好完全抵消。又s電子軌道角動量為零，因此銀原子磁矩近似而言主要是由5s電子的自旋導致。
斯特恩和蓋拉赫使一束銀原子通過非均勻的磁場，發現銀原子分裂為兩束。磁矩在非均勻磁場中的受力：
說明磁矩有兩種取值，當時人們並沒有自旋的概念，根據軌道角動量的理論，軌道角動量（L）的取值只能是整數，如：0，1，2...，的取值則有 2L+1種可能性，即由-L, -L+1, ..., L-1, L。因此軌道角動量概念只能解釋奇數條條紋分裂，而無法解釋偶數條條紋分裂。解決方案是引入電子自旋(s)，自旋取值為1/2，取值為- 1/2，1/2。
自旋是一個無經典對應的物理量，通常人們會把自旋理解為電子自身的轉動，但這種圖像是不成立的，理由可歸納如下：
1.迄今為止的實驗，未發現電子有尺寸的下限，即電子是沒有大小的；
2.如果把電子自旋考慮為剛體繞自身的轉動的話，即假設自旋是某種經典的對應，我們解出的角動量量子數只能是整數，因此無法解釋偶數條條紋；
3.如果把電子自旋構想為有限大小均勻分布電荷球圍繞自身的轉動的話，電荷球表面切線速度將超過光速，與相對論矛盾；
因此自旋導致的物理現象是純粹的量子力學效應，討論自旋可以最“乾淨”地引入量子概念，因為自旋無經典對應，我們也就不會受到經典圖像的干擾。
連續的斯特恩-蓋拉赫實驗
由於非均勻磁場可將不同自旋取值的銀原子束分開，因此斯特恩-蓋拉赫實驗裝置可看作是自旋的過濾器，比如沿z方向的非均勻磁場可將和的自旋分開，同樣沿x方向的非均勻磁場可將和的自旋分開等等。上圖表示將的自旋束過濾出來，如果連續通過兩個這樣的裝置，仍有的自旋束射出。
先過濾出的自旋束，再試圖過濾出的自旋束，最終無自旋束射出。
的自旋束通過x方向非均勻磁場可將的自旋束選擇出來。
的自旋束通過x方向非均勻磁場將的自旋束選擇出來，再通過z方向非均勻磁場，可將的自旋束選擇出來。
連續的斯特恩-蓋拉赫實驗說明，取值和取值無法同時確定，而在經典力學中我們總可以同時確定和的取值，或x與p的取值。這正是量子力學區別於經典力學的本質特徵，或者體現為海森堡不確定關係，或者體現為狄拉克的非對易代數。
與偏振現象的類比
我們無法通過同時指定，的取值來描述自旋的態，但我們可類比光學中的偏振現象來達到對自旋態的描述。在光學中有x偏振光，y偏振光，x，y是相互垂直的偏振方向。如果我們把x方向逆時針轉動45度，則得到x'偏振光，再繼續轉動90度，則得到y'偏振光。
這裡x偏振光類比為的自旋態，y偏振光類比為的自選態；x'偏振光類比為的自旋態，y'偏振光類比為的自旋態。
沿z方向傳播的x，y偏振光；
沿z方向傳播的x'，y'偏振光；
因此自旋態可表示為：
由於非均勻磁場還可加在空間的y方向上，所以尚需求出和的表達式。可通過與圓偏振光類比得到。
右旋圓偏振光：
左旋圓偏振光：
因此可將表示為：
此即s=1/2，在sz表象中各自旋態的表達。即表示為2維複線性向量空間(complex vector space)中的一個矢量，如果把2維推廣為無窮維即所謂希爾伯特空間（Hilbert Space）。
