拋射體運動
正文
以任意初速拋出的物體在地球重力作用下的運動。作這種運動的物體稱為拋射體。拋射體的質心在運動中的軌跡稱為彈道或彈道曲線。拋射體的理想運動 指在下述四種假設下的運動:①拋射體在真空中運動;②拋射體的射程與地球的尺寸相比很小,故地球表面可視為平面,各處重力互相平行;③拋射的高度與地球半徑相比很小,各處重力加速度g可視為常數且等於在地面的值;④在地面上靜止的物體具有與地球在該點的轉動速度相同的速度,所以初速不太大時,拋射體的運動可不考慮地球的轉動。在這些假設下,拋射體對靜止於地面的直角坐標系的運動方程為:
m塯=0,m╔=-mg。
設初速v0與水平成θ0角,而初始條件為:x0=0,y0=h,
凧0=v0cosθ0,夻0=v0sinθ0,
則積分後的運動方程為:x=v0tcosθ0,
y=v0tsinθ0-gt2+h,
消去t後,得彈道方程:。
這是一個拋物線方程(圖1)。當y=h時,可從上式求出拋射體的射程:。
可見射程不僅與初速度v0有關,且與θ0有關。當θ0=45°時,射程最大。拋射體的實際運動 考慮空氣阻力的拋射體運動。炮彈或飛彈在空氣中運動時,空氣的阻力對彈道的影響是縮短射程、減小落地速度和增大落地角,並使彈道具有豎直漸近線(圖2)。 在阻尼介質中運動的拋射體同時受到重力P和空氣阻力R的作用(圖3)。R與速度v反向,其大小則為v的某一函式mf(v),其中m為拋射體的質量,是為了算式簡明而寫上的。拋射體沿曲線的切向和法向的運動微分方程為:
(1)
曲率半徑ρ與弧長s和傾角θ有如下關係:
,
。 (2)
從以上兩式消去dt,得到:, (3)
或改寫為:。 (4)
只有在函式f(v)取某些特殊形式時,式(3)才有一般的積分。例如:f(v)=cv,f(v)=cv2,f(v)=av+bv2(牛頓,歐拉),f(v)=cvn(約翰第一·伯努利),f(v)=a+bvn(達朗拍)等。在外彈道學中,方程式(3)的積分一般用近似方法。下面分述介質阻力對拋射體運動的影響。①介質阻力對射程的影響 將式(4)寫為:
。
②介質阻力對落地角的影響 利用式(2)的第二式,
。 (5)
沿彈道的上升段積分,y由0到h,θ由θ0到0,得到:。
。
③介質阻力對落地速度的影響將式 (2)的第一式乘以v並積分,得:
。
設落地時t=t1,落地速度為v1,此時y=0,上式變為:。
此式表明v1<v0,即落地速度v1小於發射速度v0。④阻尼介質中彈道的漸近線 θ角從初始值θ0逐漸減小,在彈道頂點處變為零,此後即取負值。由式(2)中的第二式得出:
,
根據初始條件t=0時θ=θ0,積分後可得:。
從上式可以看出,當θ→時,t→∞,故在阻尼介質中彈道具有豎直漸近線。此外,當射程較大時,例如遠程彈道飛彈,由於地面是球形,球面曲率的影響是增大射程(圖4)。圖中橢圓是飛彈在地球有心力場中的真空彈道。此時的射程等於Rφ,顯然大於設地面為平面情況下的射程。