簡介
微分法
微分法在古典的微積分學中，微分被定義為變化量的線性部分，在現代的定義中，微分被定義為將自變數的改變數 映射到變化量的線性部分的線性映射 。這個映射也被稱為切映射。給定的函式在一點的微分如果存在，就一定是唯一的。
微分法
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微分法
微分法在數學中，微分是對函式的局部變化率的一種線性描 述。微分可以近似地描述當函式自變數的取值作足夠小的改變時，函式的值是怎樣改變的。當某些函式 的自變數 有一個微小的改變 時，函式的變化可以分解為兩個部分。一個部分是線性部分：在一維情況下，它正比於自變數的變化量 ，可以表示成 和一個與 無關，只與函式 及 有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個線性映射作用在 上的值。另一部分是比 更高階的無窮小，也就是說除以 後仍然會趨於零。當改變數很小時，第二部分可以忽略不計，函式的變化量約等於第一部分，也就是函式在 處的 微分，記作 或 。如果一個函式在某處具有以上的性質，就稱此函式在該點可微 。
不是所有的函式的變化量都可以分為以上提到的兩個部分。若函式在某一點無法做到可微，便稱函式在該點不可微。
定義
微分法定義如下：
微分法
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微分法設函式 在某區間 內有定義。對於 內一點 ，當 變動到附近的 （也在此區間內）時，如果函式的增量 可表示為 （其中 是不依賴於 的常數），而 是比高階的無窮小，那么稱函式 在點 是可微的，且 稱作函式在點 相應於自變數增量 的微分，記作 ，即 ， 是 的線性主部。
微分法 微分法
微分法
微分法通常把自變數 的增量 稱為自變數的微分，記作 ，即 。
圖1.微分法 微分法 微分法（函式在一點的微分，其中紅線部分是微分量 ，而加上灰線部分後是實際的改變數 。）
幾何意義
微分法
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微分法
微分法
微分法 微分法設 是曲線 上的點 在橫坐標上的增量，是曲線在點 對應 在縱坐標上的增量， 是曲線在點 的切線對應 在縱坐標上的增量。當 很小時， 比 要小得多(高階無窮小)，因此在點 附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段 。
微分法則
微分法
微分法和求導一樣，微分有類似的法則，例如，如果設函式 、 可微，那么：
微分法1)
微分法2）
微分法3） ，
微分法
微分法4）若函式 可導，那么 。
微分法與微分形式
微分法
微分法
微分法
微分法如果說微分是導數的一種推廣，那么微分形式則是對於微分函式的再推廣。微分函式對每個點 給出一個近似描述函式性質的線性映射 ，而微分形式對區域 內的每一點給出一個從該點的切空間映射到值域的斜對稱形式： 。在坐標記法下，可以寫成：
微分法
微分法
微分法 微分法 微分法
微分法
微分法其中的是-射影運算元，也就是說將一個向量射到它的第個分量的映射。而是滿足：
微分法的 k-形式。
微分法
微分法
微分法 微分法特別地，當是一個從映射到的函式時，可以將寫作：
微分法正是上面公式的一個特例。
