複合函式的求導法則
設函式
![複合函式微分法](/img/8/d2a/wZwpmL2gDOwUDOxgjNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4YzLzEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/2/f17/wZwpmLyMTM4kjN5QjNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0YzLwAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/5/017/wZwpmLxYzM2AzMxMTMzEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzEzLyUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
定義在 平面的區域 上,函式
![複合函式微分法](/img/3/97a/wZwpmL2ITNwEDOxIjNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyYzLzQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/3/407/wZwpmL3IzM1cDOyUzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1MzL4AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/3/c66/wZwpmLxEzN1ITO4MTNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzUzL2AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
定義在 平面的區域 上,且
![複合函式微分法](/img/a/53b/wZwpmLxIjNyIDM2kzNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5czLwczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
則函式
![複合函式微分法](/img/6/c4d/wZwpmLxETN0gDOwQjNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0YzL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/c/2a7/wZwpmL0YTNxQDMyQTM5czN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0EzL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/d/15a/wZwpmL4UTNxEjMxMTMzEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzEzLyMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/0/1ca/wZwpmL1UjN2gjM4QjN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0YzL3czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/d/15a/wZwpmL4UTNxEjMxMTMzEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzEzLyMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
是以(2)為外函式,(1)為內函式的複合函式。其中 稱為函式 的中間變數, 為 的自變數 。
定理1
![複合函式微分法](/img/4/3ab/wZwpmL3QDMygDM5YDOwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2gzL4AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/8/7a5/wZwpmL2gjM4EzN3cDOwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3gzLzMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/d/3a8/wZwpmL2YzN5ETOyQzM2EzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzLwMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/3/be9/wZwpmLyAzN5QDO1czNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3czL2QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
若函式 在點 可微, 在點 可微,則複合函式
![複合函式微分法](/img/6/4ae/wZwpmLwQDN2YTMzkTN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5UzL1QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/9/5b8/wZwpmLwIjN4AjNxYTNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2UzL1AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/7/9d6/wZwpmL3QTMzcTN4ETN3kTO0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLxUzLyIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/3/895/wZwpmLyAzNwUTO5QTMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0EzL2gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
在點 可微,且它關於 與 的偏導數分別為
![複合函式微分法](/img/a/d8c/wZwpmLzMzM2cjM0YTNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2UzL2UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/4/77a/wZwpmLxUzM5AjM4MzNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzczL1QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
上述兩個公式也稱為鏈式法則。
注意
![複合函式微分法](/img/f/0a8/wZwpmL3ETNxYjN4YDOwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2gzL2AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/7/9d6/wZwpmL3QTMzcTN4ETN3kTO0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLxUzLyIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/3/895/wZwpmLyAzNwUTO5QTMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0EzL2gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/e/fb1/wZwpmL1YDNwUTNxATNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwUzL3gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/4/bbc/wZwpmLwYzM5ADNwMzNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzczL0QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/7/9d6/wZwpmL3QTMzcTN4ETN3kTO0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLxUzLyIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/3/895/wZwpmLyAzNwUTO5QTMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0EzL2gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/8/778/wZwpmL2MzN5UzM2MzNwIDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzczL4MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
如果只是求複合函式 關於 或 的偏導數,則定理1中 和 只需具有關於 或 的偏導數就夠了。但是對外函式 的可微性假設是不能省略的,否則上述複合函式求導公式不一定成立。如函式
![複合函式微分法](/img/3/5ca/wZwpmLwYTMxgjM1gjNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4YzL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/7/5f6/wZwpmL3gzN4YDM5YDOwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2gzL2UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/1/84e/wZwpmLzMzNycDNxMDO4EDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzgzLwAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/6/d09/wZwpmL2UzM0ATN0QzM2EzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzL4gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/1/84e/wZwpmLzMzNycDNxMDO4EDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzgzLwAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/a/59c/wZwpmLwADN5MDM1YTNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2UzL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/3/895/wZwpmLyAzNwUTO5QTMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0EzL2gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
直接計算可知 ,但 在 處不可微。若以 為外函式, 為內函式,則得以 為自變數的複合函式
![複合函式微分法](/img/5/927/wZwpmLwIzMzczM0cDNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3QzL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/a/dd7/wZwpmLyYDN2YDNxMzNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzczLwIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
所以 。這是若用鏈式法則,將得出錯誤的結果
![複合函式微分法](/img/b/477/wZwpmL3MTOwQDOwUjNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1YzLyMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/8/778/wZwpmL2MzN5UzM2MzNwIDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzczL4MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
這個例子說明在使用複合函式求導公式時,必須注意外函式 可微這一重要條件。
複合函式的全微分
![複合函式微分法](/img/1/036/wZwpmL3QzM5YjNzMjM0EDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzIzL3EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/2/047/wZwpmL4YzMwUTN3ADO3EDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwgzLygzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/d/3a8/wZwpmL2YzN5ETOyQzM2EzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzLwMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
若以 和 為自變數的函式 可微,則其全微分為
![複合函式微分法](/img/9/a4a/wZwpmLwEDMzEzN2gzNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4czLxAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/c/2a7/wZwpmL0YTNxQDMyQTM5czN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0EzL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/0/1ca/wZwpmL1UjN2gjM4QjN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0YzL3czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
如果 作為中間變數又是自變數 的可微函式
![複合函式微分法](/img/0/514/wZwpmL1gTO2EzNwkzN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5czL2AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/6/4ae/wZwpmLwQDN2YTMzkTN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5UzL1QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
則由定理1知道,複合函式 是可微的,其全微分為
![複合函式微分法](/img/2/f14/wZwpmL2IDO1YDNyMTNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzUzL1EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/c/2a7/wZwpmL0YTNxQDMyQTM5czN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0EzL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![複合函式微分法](/img/9/5b8/wZwpmLwIjN4AjNxYTNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2UzL1AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
由於 又是 的可微函式,因此同時有
![複合函式微分法](/img/8/58c/wZwpmL2YTOzUzM2cDNwYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3QzLxQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)