複合函式微分法

多元函式微分學是數學分析領域的重要內容。在多元函式微分學中,主要討論的是多元函式的可微性及其套用,而二元函式的可微性則是多元函式可微性研究的重點。複合函式微分法則是二元函式可微性的進一步研究。

複合函式的求導法則

設函式

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定義在 平面的區域 上,函式

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定義在 平面的區域 上,且

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則函式

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是以(2)為外函式,(1)為內函式的複合函式。其中 稱為函式 的中間變數, 為 的自變數 。

定理1

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若函式 在點 可微, 在點 可微,則複合函式

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在點 可微,且它關於 與 的偏導數分別為

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上述兩個公式也稱為鏈式法則。

注意

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如果只是求複合函式 關於 或 的偏導數,則定理1中 和 只需具有關於 或 的偏導數就夠了。但是對外函式 的可微性假設是不能省略的,否則上述複合函式求導公式不一定成立。如函式

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直接計算可知 ,但 在 處不可微。若以 為外函式, 為內函式,則得以 為自變數的複合函式

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所以 。這是若用鏈式法則,將得出錯誤的結果

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這個例子說明在使用複合函式求導公式時,必須注意外函式 可微這一重要條件。

複合函式的全微分

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若以 和 為自變數的函式 可微,則其全微分為

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如果 作為中間變數又是自變數 的可微函式

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則由定理1知道,複合函式 是可微的,其全微分為

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由於 又是 的可微函式,因此同時有

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