微分形式不變性

微分形式不變性，不論u是自變數還是中間變數,均有:dy=f'(u)du.這稱為一階微分形式不變性。

設函式為:y=f(u),這時:

如果u是自變數,則函式y=f(u)的微分形式為:

dy=y'du=f'(u)du

如果u是中間變數,即u=g(x),函式就為複合函式,自變數是x,即y=f[g(x)],複合函式求導得:y'=f'[g(x)]g'(x),那么

複合函式y=f[g(x)](自變數是x)的微分形式為:dy=y'dx=f'[g(x)]g'(x)dx,因為u=g(x),g'(x)dx=du,帶入式得:

dy=f'(u)du.

因此,附上複合函式求導證明

證明：令u=g（x）

則f（u）=f（g（x））

則f（u1)=f（g（x1））

f（u2)=f（g（x2））

則f（u1）-f（u2）=f（g（x1））-f（g（x2））

則f'（u）du=f'（g（x））dx

又du/dx=g'（x）（du=x引起g（x）的微小變化）

則f'（u）*g'（x）=f'(g（x）)

綜上得證