希爾伯特第十問題

希爾伯特的第十個問題，就是不定方程(又稱為丟番圖方程)的可解答性。這是希爾伯特於1900年在巴黎的國際數學家大會演說中，所提出的23個重要數學問題的第十題。 這個問題是問，對於任意多個未知數的整係數不定方程，要求給出一個可行的方法(verfahren)，使得藉助於它，通過有限次運算，可以判定該方程有無整數解。 這裡德文的方法 verfahren，就是英文所謂的算法 algorithm。對於算法的概念我們是不陌生的，例如遠在古希臘時代，人們就知道可以使用輾轉相除法，求兩個自然數的最大公約數。還有，任給一個自然數，也存在著一個方法，在有限步驟內，可以判定這個數是不是質數。 雖然人們很早就有了算法的樸素概念，但對於到底什麼是可行的計算，仍沒有精確的概念。一個問題的可解與不可解究竟是什麼含意，當時的人們還不得而知。然而為了研究第十問題，必須給予算法精確化的觀念。這點還有賴於數理邏輯學對可計算性理論的發展，才得以實現。

簡介

希爾伯特第十問題是由數學家希爾伯特於1900年8月8日在巴黎第二屆國際數學家大會上提出的二十三個問題之一，而希爾伯特被稱為“數學界的無冕之王”。

主要介紹

希爾伯特第10問題(Hilbert's tenth problem )關於整係數多項式是否存在整數解的難題.1900年，德國數學家希爾伯特(Hilbert , D.)在巴黎第二屆國際數學家大會上作的題為《數學問題》的著名講演中，提出23個問題作為對未來數學家的挑戰。

希爾伯特第十問題：求出一個整數係數方程的整數根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數學家）方程可解。1950年前後，美國數學家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費羅斯（Philos）對含兩個未知數的方程取得肯定結論。1970年。蘇聯數學家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況下，答案是否定的。雖然得出了否定的結果，卻產生了一系列很有價值的副產品，其中不少和計算機科學有密切聯繫。

題目

能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解？