定理定義
巴拿赫-塔斯基悖論
巴拿赫-塔斯基悖論設A和B是歐幾里德空間的兩個子集。如果它們可以分為有限個不相交子集的並集，形如和，且對任意i，子集 A全等於 B（全等即可經由剛體運動變換成另一個），那么這兩個子集稱為 等度分解的。於是，這個悖論可以如下敘述：
一個球和它自身的兩個拷貝是等度分解的。
對球來說，五塊就足夠做到這點了，但少於五塊卻不行。這個悖論甚至有個更強的版本：
任意兩個三維歐幾里德空間具有非空內部的子集是等度分解的。
換句話說，一塊大理石可以分成有限塊然後重新組合成一個行星，或者一部電話機可以變形之後藏進一朵百合花裡面。在現實生活中這種變形之所以不可行是因為原子的體積不是無限小，數量不是無限大，但其幾何形狀確實可以這樣變形的。如果知道總是可以存在從一個幾何體的內部點一一映射到另一個的方法，也許這個悖論看上去就不那么怪異了。例如兩個球可以雙射到其自身同樣級別的無限子集（例如一個球）。同樣我們還可以使一個球映射到一個大點或者小點的球，只要根據半徑放大係數即可將一個點映射到另一個。然而，這些變換一般來說不能保積，或者需要將幾何體分割成不可數無限塊。巴拿赫-塔斯基悖論出人意料的地方是僅用有限塊進行 旋轉和 平移就能完成變換。
使這個悖論成為可能的是無限的卷繞。技術上，這是不可測的，因此它們不具有“合理的”範圍或者平常說的“體積”。用小刀等物理方法是無法完成這種分割的，因為它們只能分割出可測集合。這個純粹存在性的數學定理指出在多數人熟悉的可測集合之外，還有更多更多的不可測集合。
對於三維以上的情形這個悖論依然成立。但對於歐幾里德平面它不成立。（以上敘述不適用於三維空間的二維子集，因為這個子集可能具有空的內部。）同時，也有一些悖論性的分解組合在平面上成立：一個圓盤可以分割成有限塊並重新拼成一個面積相同的實心正方形。參見塔斯基分割圓問題。
這個悖論表明如果等度分解的子集被認為具有相同體積的話，就無法對歐幾里德空間的有界子集定義什麼叫做“體積”。
證明是基於費利克斯·豪斯道夫早些時候的工作。他於1914年發現一個類似的悖論，事實上，巴拿赫-塔斯基悖論正是豪斯道夫所用技術的一個推廣套用。
邏輯學家常常對邏輯上不一致的命題使用“悖論”一詞，例如說謊者悖論或者羅素悖論。巴拿赫-塔斯基悖論並非這種意義上的悖論，它是一個已證明的定理，只因為違反直覺才被稱為悖論。由於其證明明確地用到選擇公理，這種反常的結論被用作反對使用該公理的理據。
驗證推導
基本上，尋找這個分球的奇怪方法可以分為4個步驟：
1、找到把一個具有兩個生成元的自由群進行分割的特殊方法；
2、找到一個三維空間中群同態於這兩個生成元的旋轉群；
3、利用這個群的特殊分割方法和選擇公理對單位球體進行分解。
4、把這個單位球面的分解推廣到實心球。
每個步驟的詳情如下：
第一步，具有兩個生成元a和b的自由群由所有含有a和b這些符號的有限字元串組成，其中沒有a緊挨著a'（a'代表a的逆元，b'相同）或者b緊挨著b'這種現象。兩個這樣的字元串可以連線在一起，只要將緊挨著的a和a'抵銷掉（對b一樣）。例如abab'a'連線到abab'a得到abab'a'abab'a，並可化簡為abaab'a。我們可以驗證這些字元串在這個操作下構成一個群，其單位元是空串e。我們稱這個群為F_2。群F_2可被進行如下特殊分割：令S(a)為所有a開頭的字元串，同理定義S(a')、S(b)和S(b')。很明顯：F_2={e}∪S(a)∪S(a')∪S(b)∪S(b') 並且：F_2=aS(a')∪S(a)，同時：F_2=bS(b')∪S(b)。 （aS(a')表示從S(a')取出所有字元串，並在左邊連線上一個a。）證明的關鍵就在這裡了，請仔細看清楚。現時我們將F_2這個群分成四塊（e忽略也沒有問題），然後通過乘上一個a或者b來“旋轉”它們，然後將其中兩個“重新組合”成F_2，另外兩個重新組合成另一個F_2。這就是我們想要對球體所做的事情。
第二步，為了尋找三維空間旋轉群類似於F_2那樣的行為，我們取兩條坐標軸並設A在第一條軸上旋轉arccos(1/3)弧度而B是另一條軸上旋轉arccos(1/3)弧度。（這一步驟不可在二維上完成，因為涉及到三維空間中的旋轉。如果在二維平面上任取兩種旋轉來試圖組成這樣的群，得到的群將是一個交換群從而不具有F_2的性質。）有些瑣碎但不太難的是這兩種旋轉的行為正如F_2中a和b兩個元素的行為一樣，這裡就略去。由A和B所生成的這個旋轉群命名為H。當然，我們可以按照第一步所述方法對H進行分割。
第三步，單位球面S可被群H中的操作分成一些軌道：兩個點屬於同一個軌道若且唯若H中第一個旋轉將第一個點移到第二個。我們可以利用選擇公理在每個軌道中選出來一個點。將這些組合起來組成集合M。現時在S中（幾乎）所有點都可以通過H中合適的數相應的轉動移到M中。因此，H的分割也就可以套用到S上面去。
第四步，最後，將每個S的點連到原點，對S的分割便可以套用到實心單位球上去。（球心處會有些特殊，但在這個簡要證明中忽略它。）
總結，這個簡要證明到此結束。對於H中某些剛好對應於某些以上的矩陣旋轉要加以特殊處理。一方面，這些點是可數的因此沒有影響，另一方面，即使是些點也可以加以修正（這同樣適用於球心點）。
