拓撲性質
設X是一個非空集合，X的冪集的子集（即是X的某些子集組成的集族）T稱為X的一個拓撲。若且唯若：
1．X和空集{}都屬於T；
2．T中任意多個成員的並集仍在T中；
3．T中有限多個成員的交集仍在T中。
稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間，記作（X,T）。
稱T中的成員為這個拓撲空間的開集。
定義中的三個條件稱為拓撲公理。（條件（3）可以等價的換為τ中兩個成員的交集仍在τ中。）
從定義上看，給出某集合的一個拓撲就是規定它的哪些子集是開集。這些規定不是任意的，必須滿足三條拓撲公理。
一般說來，一個集合上可以規定許多不相同的拓撲，因此說到一個拓撲空間時，要同時指明集合及所規定的拓撲。在不引起誤解的情況下，也常用集合來代指一個拓撲空間，如拓撲空間X，拓撲空間Y等。
同時，在拓撲範疇中，我們討論連續映射。定義為：f: (X,T1) ------> (Y,T2) （T1,T2是上述定義的拓撲）是連續的若且唯若開集的原像是開集。兩個拓撲空間同胚若且唯若存在一一對應的互逆的連續映射。同時，映射同倫和空間同倫等價也是很有用的定義。
拓撲空間
在拓撲學及其相關的數學分支中，拓撲空間（topological space）是一個點的集合，其部分子集構成一個族滿足一些公理。拓撲空間的定義僅依賴於集合論，是帶有連續，連通，收斂等概念的最基本的數學空間。
設X是一個集合，O是一些X的子集構成的族，則(X,0)被稱為一個拓撲空間，如果下面的性質成立：
1. 空集和X屬於O，
2.O中任意多個元素的並仍屬於O，
3.O中有限個元素的交仍屬於O。
這時，X中的元素成為點（point），O中的元素成為開集（open set）。我們也稱O是X上的一個拓撲。
概念與定義
局部緊空間(locally compact space)是一類拓撲空間。設X是拓撲空間，若X的每一點都有一個緊鄰域，則稱X為局部緊空間。緊空間是局部緊空間，反之不然。歐幾里得空間R不是緊空間，但是，R是局部緊空間。離散空間是局部緊空間。局部緊的T空間是完全正則空間。局部緊性是閉遺傳的。局部緊空間的連續像未必是局部緊的。有限個局部緊空間的積仍為局部緊空間。
定義1：空間X稱為i-型局部緊空間(i=1,2,3),是指它滿足下面的條件：
1)X中每一點都有一個緊鄰域;
2)X中每一點都有一個緊鄰域基;
3)X中每一點x的任意一個鄰域U包含一個開鄰域V,使得V U,且V是緊的.
定義2：空間X稱為i-型局部強仿緊空間(i=1,2,3),是指它滿足下面的條件:
1)X中每一點都有一個強仿緊鄰域;
2)X中每一點都有一個強仿緊鄰域基;
3)X中每一點x的任意一個鄰域U包含一個開鄰域V,使得V U,且V是強仿緊的.
定義3：在空間X中,Y是X的子集。若Y作為X的子空間是強仿緊空間，則稱Y是X的強仿緊子集。顯然強仿緊空間必是1-型局部強仿緊空間，因為強仿緊空間本身是它的任何一點的強仿緊鄰域。由定義2可知，三者之間的關係：3-型局部強仿緊空間是2-型局部強仿緊空間，2-型局部強仿緊空間是1-型局部強仿緊空間。
局部緊空間性質
定義1：拓撲空間 X稱為局部可數緊空間，是指X中任意點都有一個可數緊緻鄰域，即每一點x∈ X，都存在一個領域使其每一可數開覆蓋都有有限子覆蓋，顯然可數緊空間是局部可數緊的。
局部緊空間定義2：拓撲空間X稱為鄰域局部緊空間，是指X中每一點x∈ X的任意鄰域U∈ u，都有一個緊緻鄰域V，使得XU。
下面結果都是顯然的。
定理1：鄰域局部緊空間是局部緊空間，是可數局部緊空間。
定理2： 3-型局部緊空間是2-型局部緊空間，2-型局部緊空間是局部緊空間。
局部緊空間 局部緊空間這是因為對任意 x∈ X, U∈ u都有開鄰域V，使得VVUx，且V是緊的，且顯然V是點x的鄰域，並且其全體是點x的緊鄰域基。
明顯地有：
定理3：拓撲空間X是鄰域局部緊的若且唯若x是2-型局部緊的。
定理4：局部緊的正則空間X是2-型局部緊空間，是3-型局部緊空間。
推論1：局部緊的Hausdorff空間都是2-型局部緊空間，都是3-型局部緊空間。
推論2：局部緊的完全正則空間都是2-型局部緊空間，都是3-型局部緊空間。
定理5：任一緊覆蓋族都是局部有限的半緊空間X都是局部緊空間。
定理6：任一緊覆蓋族都是局部有限的σ緊空間X都是局部緊空間。
定理7：半緊空間是σ緊空間。
定理8：設X和Y為拓撲空間，f∶X→Y是連續開滿映射，X是鄰域局部緊的，則Y是鄰域局部緊的。
定理9：設X,Y為拓撲空間，X是局部可數緊的，f∶X→Y是連續開滿映射，那么Y是局部可數緊的。
定理10：在拓撲空間X中，有：
(1)局部可數緊空間是局部列緊空間。
(2)局部列緊的T1空間是局部可數緊的。
(3)局部序列緊的是局部可數緊的。
(4)局部可數緊的A1空間是局部序列緊的。
從而，有X是局部可數緊的若且唯若X是局部列緊的若且唯若X是局部序列緊的。
