定義
實二次型(1) n元實二次型指的是含有n個變數 的實係數二次齊次多項式
實二次型其中
實二次型為n階實對稱矩陣。
實二次型 實二次型對於取定的變數組 來說,n元實二次型f( )= x'Ax與n階實對稱矩陣 A=(a)是互相唯一確定的，稱A是二次型f的矩陣，稱f是以A為矩陣的二次型 。
實二次型
實二次型(2) 只有平方項 而沒有交叉項 ,i≠j的二次型稱為n元標準二次型
實二次型其中
實二次型
實二次型(3)如果對於n階方陣 A和 B，存在n階可逆矩陣 P使 B= P'AP，則稱 A與 B契約，記為 。矩陣之間的契約關係有反身性、對稱性和傳遞性。
(4)所有平方項的係數為±1或0的標準二次型稱為規範二次型
實二次型其中
實二次型r是二次型的秩，k為二次型的正慣性指數，r-k為二次型的負慣性指數，k-(r-k)=2k-r為二次型的符號差 。
基本結論
實二次型 實二次型
實二次型(1)對於任何變數值 ，二次型f( )= x'Ax的值恆為0 A= O。
(2)n階方陣 A和 B等價指的是存在n階可逆矩陣 P和 Q使得 B= PAQ，記為 A≌ B 。
n階方陣 A和 B相似指的是存在n階可逆矩陣 P使得 B = P AP，記為 A~ B。
實二次型n階方陣 A和 B契約指的是存在n階可逆矩陣 P使得 B= P'AP，記為 。
兩個相似的矩陣一定是等價的，兩個契約的矩陣也一定是等價的。但是，反之並不成立，即等價的矩陣未必相似，也未必契約，矩陣相似與矩陣契約是兩個不同的概念，只有當 B = P AP中的 P是正交矩陣時，才同時有 B = P'AP，所以，兩個矩陣正交相似與正交契約是一回事。
(3)對於任意一個n元實二次型f= x'Ax ，必存在正交變換 x = Py,這裡P是n階正交矩陣，把它化為標準形：
實二次型
實二次型f( )= x'Ax= ( Py)' A( Py)= y'P'APy= y'Λy=
其中，λ,... , λ就是對稱矩陣 A的n個特徵值。
(4)對於任意一個n元實二次型f= x'Ax ，必存在可逆線性變換 x= Qy，這裡 Q是n階可逆矩陣，把它化為標準形
實二次型
實二次型f()= x'Ax= ( Qy)' A( Qy)= y'Q'AQy= y'Λy=
實二次型其中,未必是對稱矩陣 A的特徵值。
(5)慣性定理 對於任意一個n元實二次型f= x'Ax，必存在可逆線性變換 x= Rz，這裡R是n階可逆矩陣，把它化為規範形
實二次型
實二次型f()= x'Ax=
其中k和r是由 A唯一確定的(與所採用的變換的選擇無關)。
慣性定理的矩陣形式。對於任意一個n階對稱矩陣A，一定存在n階可逆矩陣 R使得
實二次型其中k和r是由B唯一確定的。
(6)契約判別法。當 A與 B是同階對稱矩陣時，它們契約若且唯若它們有相同的秩和相同的正慣性指數，因為對稱矩陣的秩就是它的正慣性指數和負慣性指數之和，所以，兩個同階對稱矩陣 A與 B契約若且唯若它們有相同的正慣性指數和相同的負慣性指數 。
