孤立子理論發展
20世紀 60～70 年代 ，通過計算機計算和關於淺水波的實驗觀測，表明孤立波碰撞後仍保持各自原來的形狀和速度，猶如粒子，因而稱為孤立子，隨著研究的深入 ，發現除KdV方程外，還有一系列在套用中十分重要的非線性演化方程 ，孤立子解反映了自然界的一種相當普遍的非線性現象；並發展了一套求解這類非線性微分方程的強有力的解法，因而受到廣泛的重視。孤立子被套用於粒子物理、固體物理以及各種非線性物理問題中，取得不少成功，也還存在不少困難 。
1834年秋，英國科學家、造船工程師羅素在運河河道上看到了由兩匹駿馬拉著的一隻迅速前進的船突然停止時，被船所推動的一大團水卻不停止，它積聚在船頭周圍激烈地擾動，然後形成一個滾園、光滑而又輪廓分明的大水包，高度約為0.3～0.5米，長約10米，以每小時約13公里的速度沿著河面向前滾動。羅素騎馬沿運河跟蹤這個水包時發現，它的大小、形狀和速度變化很慢，直到3～4公里後，才在河道上漸漸地消失。羅素馬上意識到，他所發現的這個水包決不是普通的水波。普通水波由水面的振動形成，振動沿水平面上下進行，水波的一半高於水面，另一半低於水面，並且由於能量的衰減會很快消失。他所看到的這個水包卻完全在水面上，能量的衰減也非常緩慢(若水無阻力，則不會衰減並消失)。並且由於它具有圓潤、光滑的波形，所以它也不是激波。
羅素將他發現的這種奇特的波包稱為孤立波，並在其後半生專門從事孤立波的研究。他用大水槽模擬運河，並模擬當時情形給水以適當的推動，再現了他所發現的孤立波。羅素認為孤立波應是流體力學的一個解，並試圖找到這種解，但沒有成功。
十年後（1845年）羅素向英國科學促進會報告了自己的觀點，但卻沒能說服他的同事們，羅素所發現的孤立波現象也未能引起人們的注意。50年以後即1895年，兩位數學家科特維格與得佛里斯從數學上導出了有名的淺水波KdV方程，並給出了一個類似於羅素孤立波的解析解，即孤立波解，孤立波的存在才得到普遍承認。
在羅素逝世100周年即1982年,人們在羅素髮現孤立波的運河河邊樹起了一座羅素像紀念碑，以紀念148年前他的這一不尋常的發現。
重要意義
1834年，英國J.S.羅素在運河勘探時首先發現了孤立波，即圓而光滑、孤零零移動的凸出水峰。1895年，柯脫維格和德佛累斯在研究單方向運動的淺水波時建立了著名的Rdu方程，這是一個非線性偏微分方程，它的一個特解的函式圖象猶如一個向右運動的脈衝，在現象上正是羅索發現的孤立波。長期來，人們認為與一般非線性波一樣，兩個孤立波的“碰撞”將破壞波形，孤立波解是沒有價值的不穩定解。但1965年美國克魯斯卡爾和扎布斯基得出Rdu方程的電算結果，發現兩個孤立波碰撞後能保持彼此的波形和速度。在這之後，孤立子數學理論迅速發展，其中散射反演方程已發展成為求解非線性偏微分方程的新方法;方程守恆律的研究為探討怎樣的方程具有孤立子解提供了依據;孤立子還使原本屬於微分幾何的貝克隆變換日趨活躍。
孤立子在非線性波理論、基本粒子理論等領域有著廣泛而重要的作用。它的發現是計算導致重大科學發現的一個例證。它表明，計算作為現代科學方法的三大環節(理論、實驗、計算)之一，已經並將進一步在當代基礎理論、套用技術等許多方面發揮重要作用。
現在人們已經發現很多在套用中十分重要的非線性方程，如正弦-戈登方程(SG方程)u=sin u，非線性薛丁格方程等都具有這種孤立子解。還發現在電漿光纖通訊中也有孤立子現象，科學家們還認為，神經細胞軸突上傳導的衝動、木星上的紅斑等都可以看做是孤立子。
孤立子理論
條件
孤立波解只存在於非線性色散方程之中，亦即非線性與色散是孤立波存在的必要條件。色散即波的傳播速度依賴于波的頻率和波長，它導致波包散開，而非線性卻導致波陣面捲縮，兩者共同作用的結果便形成穩定的波包，即孤立波。
孤子
起初人們認為雖然單個孤立波在行進中非常穩定，但在孤立波相互碰撞時，就可被撞得四分五裂，穩定波包將不復存在。但通過計算機對孤立波進行研究的結果表明，兩個孤立波相互碰撞後，仍然保持原來的形狀不變，並與物質粒子的彈性碰撞一樣，遵守動量守恆和能量守恆。孤立波還具有質量特徵，甚至在外力作用下其運動還服從牛頓第二定律。因此，完全可以把孤立波當做原子或分子那樣的粒子看待，人們將這種具有粒子特性的孤立波稱為孤立子，有時又簡稱為孤子。
穩定性和粒子性
孤立子的高度穩定性和粒子性引起了人們對孤立子的極大興趣。人們還發展了一套研究孤立子的系統方法—反散射方法或逆問題方法。找出了一批非線性方程的普遍解法，並通過計算機實驗和解析方法相結合，發現很多非線性偏微分方程都存在孤立子解，這些純粹數學上的孤立子，很快在流體物理、固體物理、電漿物理和光學實驗中被發現。更令人振奮的是，這些似乎是純數學的發現，不僅為實驗所證實，而且還找到了實際套用。例如光纖通訊中傳輸信息的低強度光脈衝由於色散變形，不僅信息傳輸量低、質量差，而且須線上路上每隔一定距離加設波形重複器，花費很大，70年代從理論上首先發現“光學孤子”可以克服這些缺點，並可大大提高信息傳輸量，目前這一成果已進入實用階段。
粒子表現
對孤立子的更深入研究發現，孤立子不僅像原子或分子，而且更像基本粒子，這表現在：
1．孤立子不僅具有質量、能量和動量特徵，而且還具有電荷特徵。
2．孤立子有的像光子、電子、質子那樣，穩定而不衰變，有的像中子、πo介子、μ子那樣可以衰變，具有衰變性不穩定性。
3．和基本粒子都存在其反粒子一樣，孤立子也都存在其相應的反孤立子。
4．對應於運動方程的種種對稱性，孤立子也存在相應的守恆定律，如動量守恆、能量守恆和“粒子數”守恆等等。
波粒二象性
孤立子原本是波，但卻具有粒子的特性，而物質粒子原本是粒子，但卻具有波的特性。兩者原本風馬牛不相及，但卻具有共同的屬性—“波粒二象性”。人們曾確信，孤立子和物質粒子之間一定存在某種必然聯繫，並預料孤立子必將在基本粒子研究中起到獨特的作用。但是，由於孤立子解只存在於非線性微分方程中，而非線性微分方程沒有一般解法,孤立子解很難找到,尤其對於多維孤立子的研究目前還只是剛剛起步，並且對多維孤立子的研究更加困難，人們對基本粒子的了解遠多於孤立子，因而，借用孤立子理論還難以對基本粒子作出完備的描述。
特例
但是情況也有例外，人們對於速度低於光速的物質粒子了解甚多，而對速度超過光速的物質粒子—快子卻知之甚少。人們通過對狹義相對論的進一步研究發現，速度原本就超過光速的快子的存在並不違背狹義相對論，但到目前人們對快子的特性並不清楚，也不知道為什麼不能發現快子。而孤立子理論卻得到了快子解，在“虛子論”中，我們將藉助這種快子解，分析研究快子的基本特性，並說明它們為什麼不能被發現。我們還將進一步證明，快子在地球上是普遍存在的，並在人體生命現象中起著極其重要的作用。
