奧爾格·康托爾

康托爾曾在1883年的論文和以後的哲學論文裡對於無窮問題作了詳盡的討論。 康托爾是德國數學家，集合論的創始者。 集合論是現代數學的基礎，康托爾在研究函式論時產生了探索無窮集和超窮數的興趣。

格奧爾格·康托爾
康托爾（Georg Cantor，1845-1918，德）
德國數學家，集合論的創始者。1845年3月3日生於聖彼得堡（今蘇聯列寧格勒），1918年1月6日病逝於哈雷。其父為遷居俄國的丹麥商人。康托爾11歲時移居德國,在德國讀中學。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學,翌年轉入柏林大學,主修數學，從學於E.E.庫默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內克。1866年曾去哥廷根學習一學期。1867年在庫默爾指導下以數論方面的論文獲博士學位。1869年在哈雷大學通過講師資格考試，後即在該大學任講師，1872年任副教授，1879年任教授。
大學期間康托爾主修數論，但受外爾斯特拉斯的影響,對數學推導的嚴格性和數學分析感興趣。哈雷大學教授H.E.海涅鼓勵他研究函式論。他於1870、1871、1872年發表三篇關於三角級數的論文。在1872年的論文中提出了以基本序列（即柯西序列）定義無理數的實數理論，並初步提出以高階導出集的性質作為對無窮集合的分類準則。函式論研究引起他進一步探索無窮集和超窮序數的興趣和要求。
1872年康托爾在瑞士結識了J.W.R.戴德金，此後時常往來並通信討論。1873年他估計，雖然全體正有理數可以和正整數建立一一對應，但全體正實數似乎不能。他在1874年的論文《關於一切實代數數的一個性質》中證明了他的估計，並且指出一切實代數數和正整數可以建立一一對應，這就證明了超越數是存在的而且有無窮多。在這篇論文中，他用一一對應關係作為對無窮集合分類的準則。
在整數和實數兩個不同的無窮集合之外，是否還有更大的無窮?從1874年初起,康托爾開始考慮面上的點集和線上的點集有無一一對應。經過三年多的探索，1877
說，“我見到了，但我不相信。”這似乎抹煞了維數的區別。論文於1878年發表後引起了很大的懷疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克羅內克都反對，而戴德金早在1877年7月就看到,不同維數空間的點可以建立不連續的一一對應關係，而不能有連續的一一對應。此問題直到1910年才由L.E.J.布勞威爾給出證明。
康托爾在1878年這篇論文裡已明確提出“勢”的概念(又稱為基數)並且用“與自身的真子集有一一對應”作為無窮集的特徵。
康托爾認為，建立集合論重要的是把數的概念從有窮數擴充到無窮數。他在1879～1884年發表的題為《關於無窮線性點集》論文6篇，其中5篇的內容大部分為點集論，而第5篇很長，此篇論述序關係，提出了良序集、序數及數類的概念。他定義了一個比一個大的超窮序數和超窮基數的無窮序列，並對無窮問題作了不少的哲學討論。在此文中他還提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未給出證明。
在1891年發表的《集合論的一個根本問題》里，他證明了一集合的冪集的基數較原集合的基數大，由此可知，沒有包含一切集合的集合。他在1878年論文中曾將連續統假設作為一個估計提出，其後在1883年論文裡說即將有一嚴格證明，但他始終未能給出。
19世紀70年代許多數學家只承認，有窮事物的發展過程是無窮盡的，無窮只是潛在的，是就發展說的。他們不承認已經完成的、客觀存在著的無窮整體，例如集合論里的各種超窮集合。康托爾集合論肯定了作為完成整體的實無窮，從而遭到了一些數學家和哲學家的批評與攻擊，特別是克羅內克。康托爾曾在1883年的論文和以後的哲學論文裡對於無窮問題作了詳盡的討論。另一方面，康托爾創建集合論的工作開始時就得到戴德金、外爾斯特拉斯和D.希爾伯特的鼓勵和讚揚。20世紀以來集合論不斷發展，已成為數學的基礎理論。
他的著作有：《G.康托爾全集》1卷及《康托爾-戴德金通信集》等。
康托爾是德國數學家，集合論的創始者。1845年3月3日生於聖彼得堡，1918年1月6日病逝於哈雷。
康托爾11歲時移居德國，在德國讀中學。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學，翌年入柏林大學，主修數學，1866年曾去哥廷根學習一學期。1867年以數論方面的論文獲博士學位。1869年在哈雷大學通過講師資格考試，後在該大學任講師，1872年任副教授，1879年任教授。
集合論是現代數學的基礎，康托爾在研究函式論時產生了探索無窮集和超窮數的興趣。康托爾肯定了無窮數的存在，並對無窮問題進行了哲學的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現代數學的發展打下了堅實的基礎。