基本介紹
均勻擬陣是只以有限集E的子集I中包含元素的數目多少決定其獨立性的擬陣U，其中n=|E|，E的子集B為擬陣的基，若且唯若B由k個元素組成。類似地，C為擬陣的圈，若且唯若C為k+1個元素組成。H為擬陣的超平面，若且唯若H由k-1個元素組成。例如，U中的E視為歐氏空間裡一條直線上的3點，每一個單點構成U的超平面，每兩點構成該擬陣的一個基，而全部三個點是它的惟一的圈 。
廣義均勻擬陣
一個擬陣(matroid)M是一個有序對(E， J)，其中E且是一個有限集合， J⊆2 是E中子集的集合，它們滿足以下的公理 ：
(I1)∅∈ I。
(I2)若 I∈ J，及I'⊆I，則 I'∈ J。
(I3)若 I₁， I₂∈ J且| I₁|<| I₂|，則存在e∈ I₂- I₁使得 I₁∪e∈ J。
均勻擬陣E上的擬陣獨立集系的全體記為(E)。
定義 設n≥r≥0為兩個整數，E是一個n元集，令
J={X⊆E:|X|≤r} ，
則(E， J) 是一個擬陣，這樣的擬陣稱為 均勻擬陣。
均勻擬陣
均勻擬陣定理1 設E 是一個有限集，B⊆E，m≤|B|，則令 J( m，B，E) = { A∈2 ||A∩B|≤m}∈(E) ，稱 J(m，B，E)是E上的關於集合B的m擬陣獨立集系( 簡稱廣義均勻擬陣獨立集系) ，且稱( E， J(m，B，E) ) 為關於集合B的帶獨立集系的m擬陣( 簡稱廣義均勻擬陣) ，E 上的廣義均勻擬陣的全體記為 。
證明 很顯然 J(m，B，E)滿足I1和I2，
下面證明 J(m，B，E) 滿足I3，若A，A∈ J(m，B，E) ，且|A|<|A|，下面證明存在e∈A－A使得|(A∪{e})∩B|≤m，從而 J(m，B，E) 滿足I3。
情形一: 若|A₁∩B||A₂∩B|=m，存在e∈A₂－B且e∈A₂－A₁，若不然有任意的e∈A₂－B都有e∉A₂－A₁，即e∈A₁，此時有|A₁|=|A₁∩B|+|A₂－B|= m+|A₂－B|=|A₂∩B|+|A₂－B|=|A₂|，與|A₁|<|A₂|矛盾。 此時有|(A₁∪{e}) ∩B|=m≤m成立。
情形二: 若|A₁∩B|<m，|A₂∩B|<m，對於任意的e∈A₂－ A₁都有|( A₁∪{ e} ) ∩B|≤m，即I3得證。
情形三: 若|A₁∩B|>|A₂∩B|，則一定存在e∈A₂－A₁，且有e∉B，此時有|(A₁∪{e})∩B|=|A₁∩B|≤m。
例1 取E = { 1，2，3，4，5} ，B = { 1，3，5} ( 本題中 J= {I∈2 ||I|≤m} ) ，則
J( 0，B)= {∅，{2} ，{4} ，E－B}=2 ⊕ J，
J(1，B) = {∅，{1，2，4} ，{1，4} ，{1，2} ，{1} ，{2，3,4} ，{2，3} ，{3，4} ，{3} ，{2，4，5} ，{2，5} ，{4，5} ，{5} ，{2} ，{4} ，{2，4} } = 2 ⊕ J，
J(2，B) = {∅，{1，2，4} ，{1，4} ，{1，2} ，{1} ，{2，3，4} ，{2，3} ，{3，4} ，{3} ，{2，4，5} ，{2，5} ，{4，5} ，{5} ，{2} ，{4} ，{2，4} ，{1，2，3，4} ，{1，2，3} ，{1，3，4} ，{1，3} ，{1，2，4，5} ，{1，2，5} ，{1，4，5} ，{1，5} ，{2，3，4，5} ，{2，3，5} ，{3，4，5} ，{3，5} }= 2 ⊕ J，
類似的通過計算，可以得到
J(3，B) =2 ⊕ J.
基於例1 可以發現並證明下面的廣義均勻擬陣的構造定理 ：
定理2 設E是一個有限集，B⊆E，m≤|B| ，則
J(m，B，E) = 2 ⊕ J．
