定義
嚴格凹函式
嚴格凹函式嚴格凹函式是定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函式 (x) ，而且對於凸子集C中任意兩個向量p,q， 滿足
嚴格凹函式 嚴格凹函式 嚴格凹函式則稱 是定義在凸子集C中的嚴格凹函式。容易證明，其定義等價於若 滿足
嚴格凹函式 嚴格凹函式
嚴格凹函式
嚴格凹函式對任意兩個向量p,q成立。特別地，若這裡凸集C即某個區間 I ，那么就是：設 為定義在區間 I 上的函式，若對 I 上的任意兩點 和 ，有
嚴格凹函式 嚴格凹函式成立，則稱 是定義在區間I 中的嚴格凹函式。
在上面的定義中，若將小於號改變小於等於，則上面的函式稱之為凹函式。
判別方法
引理
嚴格凹函式
嚴格凹函式為 I上的凹函式的充要條件是：對於I的任意三點 ，總有
嚴格凹函式證明：
必要性：
嚴格凹函式
嚴格凹函式設 ，則有 ，由凸性的定義代入，從而有
嚴格凹函式整理後即可得到。
充分性：
嚴格凹函式
嚴格凹函式
嚴格凹函式在I上任取兩點 ，在 上任取一點 ，由必要性的推導逆過程，可證得
嚴格凹函式故為I上的凹函式。 證畢。
推論1
嚴格凹函式為 I上的函式，下列條件等價：
嚴格凹函式1） 為 I上的凹函式的。
嚴格凹函式2）為I上的減函式。
嚴格凹函式3） 對I上的任意兩點 ，有
嚴格凹函式推論2
對於實數集上的函式，如果其二階導數在區間上非正，就為凹函式。如果其二階導數在區間上恆小於0，就為嚴格凹函式 。
嚴格凹函式的性質
1）一元可微函式在某個區間上是嚴格凹的，若且唯若它的導數在該區間上嚴格單調減的。
嚴格凹函式
嚴格凹函式
嚴格凹函式
嚴格凹函式
嚴格凹函式2）一元連續可微函式在區間上是嚴格凹的，若且唯若函式位於所有它的切線的下方：對於區間內的所有和，都有 。特別地，如果 ，那么c是 的最大值。
3）一元二階可微的函式在區間上是嚴格凹的，若且唯若它的二階導數是負的；這可以用來判斷某個函式是不是嚴格凹函式，但反過來不成立。更一般地，多元二次可微的連續函式在凸集上是嚴格凹的，若且唯若它的黑塞矩陣在凸集的內部是嚴格負定的。
4）嚴格凹函式的任何極大值也是最大值。嚴格凹函式最多有一個最大值。
嚴格凹函式
嚴格凹函式
嚴格凹函式5）對於嚴格凹函式 ，水平子集 和 是嚴格凸集。
嚴格凹函式6）反向延森不等式 對嚴格凹函式 都成立。
嚴格凹函式
嚴格凹函式
嚴格凹函式
嚴格凹函式7）如果和是嚴格凹函式，那么和也是嚴格凹函式。
嚴格凹函式 嚴格凹函式
嚴格凹函式8）如果和是嚴格凹函式，且g遞減，那么是嚴格凹函式。
嚴格凹函式
嚴格凹函式9） 凸性在仿射映射下不變：也就是說，如果是凹函式，那么也是凹函式。
等等性質。
注
某些教材的凹函式定義與此定義相反，即凸函式與凹函式相反。如北京大學版本和中山大學的數學教材。
