幾何定義
函式的凹凸性在函式f(x)的圖象上取任意兩點，如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方，那么這個函式就是凹函式。
直觀上看，凸函式就是圖象向上突出來的。比如
如果函式f(x)在區間I上二階可導，則f(x)在區間I上是凹函式的充要條件是f''(x)>=0；f(x)在區間I上是凸函式的充要條件是f''(x)<=0;
拐點：曲線上有切線的凹凸分界點
不同說法
不過補充一下，中國數學界關於函式凹凸性定義和國外很多定義是反的。ConvexFunction在國內的數學書中指凹函式。ConcaveFunction指凸函式。在國內涉及經濟學的很多書中，凹凸性的提法和國外的提法是一致的，也就是和單純的數學教材是反的。很頭大的問題。
另外，國內各不同學科教材、輔導書的關於凹凸的說法也是相反的。一般來說，可按如下方法準確說明：
1、f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，即V型，為“凸向原點”，或“下凸”（也可說上凹），（有的簡稱凸有的簡稱凹）
2、f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)，即A型，為“凹向原點”，或“上凸”（下凹），（同樣有的簡稱凹有的簡稱凸）
凸/凹向原點這種說法一目了然。上下凸的說法也沒有歧義。
在二維環境下，就是通常所說的平面直角坐標系中，可以通過畫圖直觀地看出一條二維曲線是凸還是凹，當然它也對應一個解析表示形式,就是那個不等式。但是，在多維情況下，圖形是畫不出來的，這就沒法從直觀上理解“凹”和“凸“的含義了，只能通過表達式，當然n維的表達式比二維的肯定要複雜，但是，不管是從圖形上直觀理解還是從表達式上理解，都是描述的同一個客觀事實。而且，按照函式圖形來定義的凹凸和按照函式來定義的凹凸正好相反。
不等式
琴生（Jensen）不等式（也稱為詹森不等式）：（注意前提、等號成立條件）設f(x)為凸函式，則f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);設f(x)為凹函式，f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),稱為琴生不等式。
加權形式為：f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.
