概念
H空間(H-space)是一類特殊的拓撲空間。指具有乘法運算和雙邊同倫單位元的帶基點的拓撲空間。設(X，e)是帶基點的拓撲空間，1是X上的恆同映射，i，i：X→X×X分別定義為i(x)=(x，e)和i(x)=(e，x)。若存在保持基點的映射m：X×X→X使得m°i和m°i都與1相對於基點同倫，則稱(X，e)為H空間，並稱e為其同倫單位元，m為乘法運算。若映射m°(m×1)與m°(1×m)也相對於基點同倫，則稱m是同倫可結合的乘法運算，並稱(X，e)是同倫可結合的H空間。若又存在保持基點的映射μ：X→X，使得映射m°(1×μ)°Δ與m°(μ×1)°Δ都和X上映入基點e的常值映射e：X→X相對於基點同倫，則稱(X，e)是具有同倫逆元的H空間，其中Δ：X→X×X是由Δ(x)=(x，x)定義的對角映射。若T：X×X→X×X是由T(x，x)=(x，x)定義的交換映射，並且映射m和m°T相對於基點同倫，則映射m和H空間(X，e)分別稱為同倫可交換的乘法運算和同倫可交換的H空間。凡拓撲群都是H空間，可除代數C，Q，K中的單位球面是H空間。若Y是任意帶基點的拓撲空間，則Y上的閉路空間ΩY是H空間，並且是具有同倫逆元的同倫可結合H空間；當n≥2時，ΩY還是同倫可交換的。H空間的重要性質是：若(X，e)是H空間，則同調群H(X)是具有單位元的分次代數，並且H(X)和H(X)是對偶霍普夫代數。H空間的概念是霍普夫(Hopf，H.)於1941年提出的。
拓撲空間
歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
定義
設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射，若存在連續映射H：X×I→Y使得：H(x，0)=f(x)；H(x，1)=g，x∈X，則稱f與g同倫，記為f≃g：X→Y或f≃g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{h}，h連續地依賴於t且h=f，h=g，即當參數t從0變到1時，映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切連續映射之集，則同倫關係≃是C[X，Y]上等價關係，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續映射，若對每個x∈X，點f(x)與g(x)可由Y中線段連結，則f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設X，Y與Z均為拓撲空間，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，則gf≃gf： X→Z。
設X，Y為拓撲空間，若存在連續映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Id且f·g≃id。這Id、id均表示恆同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x∈X，使得常值映射C：X→X。x→x與映射id同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條：(1)id≃0，即恆同映射id零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g：Z→X，g≃0。
人物簡介
霍普夫是瑞士數學家。生於德國的布雷斯勞(今波蘭弗羅茨瓦夫)，卒於瑞士措刊孔。早年就學於柏林大學、海德堡大學。1925年獲柏林大學博士學位，同年又到哥廷根大學學習。1927—1928年，在普林斯頓大學做研究工作。1931年被聘為瑞士蘇黎世高等工業學院教授，直至1965年退休.美國全國科學院和義大利林琴科學院外籍院士。1955—1958年任國際數學聯盟主席。
霍普夫的工作很大一部分與代數拓撲有關。他在20世紀30年代的工作是後來的球同倫研究的先驅。在柏林大學時，他證明了布勞威爾映射度是映射S →S的惟一同倫不變數，得到了布勞威爾-霍普夫定理。1925年到哥廷根後，受諾特(Noether，E.)影響較大，他第一個把諾特的概念框架套用於同調論，證明了歐拉-龐加萊公式的推廣.1931年，他證明了存在映射f：S →S ，f被稱為霍普夫映射，也就是著名的霍普夫纖維化或主霍普夫叢。這在同倫論發展史上具有重要意義。他還定義了霍普夫不變數，並證明了上面映射的不變數為1。1935年，他又推廣了上面映射，得到了映射f：S →S ，並對這種映射進行了同倫分類，證明了當n=4，8時，所有映射不變數相等。後被人證明，當n=2，4，8時，霍普夫不變數都為1。這時映射就成為以S為全空間，以S為底空間的纖維叢的映射。他首次證明了本質，但是零調的映射的存在性，且基本性質不能用誘導同調同態來檢驗。1941年，他建立了H空間，並在研究H空間的同調以及上同調時，又建立了霍普夫代數。現在霍普夫代數已是現代代數的一個重要組成部分，並是代數拓撲學的常用工具。此外，他在拓撲和微分幾何的其他很多方面也做出了重要貢獻。他曾和亞歷山德羅夫(Александров，А.Д.)進行過長期的合作，1935年，他倆合著的《拓撲Ⅰ》一書，對拓撲學的發展起了很大的推動作用。1969年，他還獲國際羅巴切夫斯基數學獎。他的主要論著均收入了他1964年出版的《文選》中。
