概念介紹
博雷爾子群(Borel subgroup)是代數群的一類可解子群。指代數群G的極大連通可解子群。G的不同博雷爾(Borel，A.)子群在G中互相共軛。例如，當G=GL(n，K)或SL(n，K)時，所有上三角矩陣組成的子群就是一個博雷爾子群。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
子群
子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G.任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H.若{H|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有H的交H是G的一個子群。
代數群
代數群是指具有某種拓撲結構的群。代數群理論是群論與代數幾何學結合的產物，可以看成李群理論的推廣或者同李群理論平行的一個群論分支。若G是代數閉域K上的代數簇，又具有群的結構，且乘法運算G×G→G(這裡的“×”表示簇的扎里斯基(Zariski，O.)積)與求逆運算G→G都是簇的態射，則稱G為代數群。若G作為簇是不可約的，則稱此代數群是連通的。代數群的閉子簇若同時也是個子群，則稱為閉子群，它仍是個代數群。代數群關於它的正規閉子群的商群也是個代數群。例如，K上n級一般線性群(K上n級非奇異矩陣全體所成的群)GL(n，K)是代數群;K上n次特殊線性群(K上行列式1的n階矩陣全體所成的群)SL(n，K)是GL(n，K)的閉子群。若代數群G的簇結構是仿射的，則稱G為仿射代數群或線性代數群。採用後一術語的理由是，這種群都同構於某個GL(n，K)的閉子群.若G的簇結構是完備的，則稱G為阿貝爾簇。阿貝爾簇的群結構很簡單(都是阿貝爾群)，且被簇結構惟一決定，因此它的研究屬於代數幾何學的範疇。另一方面，對任意代數群G，總可以惟一地找到一個正規的仿射閉子群N，使G/N是阿貝爾簇。因此，代數群理論研究的主要是仿射的(即線性的)代數群，並把仿射代數群簡稱代數群。代數群及其表示理論與域論、多重線性代數、交換環論、代數幾何、李群、李代數、有限單群理論以及群表示理論等數學分支都有十分密切的聯繫，是近年來代數學的一個相當活躍的分支。
可解群
可解群是一種重要的群類。即可由交換群經有限步疊加而得的群。若群G有一個有限長的正規群列G≥G≥G≥…≥G=1，使得每個商因子都是交換群，則稱G是一個可解群，或稱G是可解的。可解群的概念源自伽羅瓦(Galois，E.)對解代數方程的研究，他發現由一個代數方程的所有解可產生一個置換群(也就是擴域的自同構群，稱之為一個伽羅瓦群)，這個代數方程能用根式解出若且唯若該群具有正規列。可解群的名稱由此而來。霍爾(Hall，P.)於20世紀30—40年代對有限可解群理論做了奠基性貢獻。費特-湯普森奇階定理成為另一個里程碑。近幾十年，有限可解群研究仍屬活躍領域。例如群系等群類理論就始於有限可解群研究並以可解群為重點。對無限可解群的研究也有了長足的進步。儘管有限可解群的研究方法與成果不能完全推到無限可解群，但帶交換商因子的正規列這一定義條件使很多思想與工具，如模論、表示論等，均可發揮出色的作用。
人物簡介
博雷爾是瑞士-美國數學家。生於瑞士拉紹德林。1947年畢業於瑞士聯邦工學院；1952年獲巴黎大學博士學位.曾任教於瑞士聯邦工學院、美國芝加哥大學，1957年起，任普林斯頓高等研究院教授。他還曾任麻薩諸塞理工學院、印度塔塔研究所、法國巴黎大學、日本東北大學等院所的訪問教授.1976年，他被選為美國藝術與科學學院院士；1987年，被選為美國全國科學院院士。1962年和1974年，兩次應邀在國際數學家大會上作報告。
博雷爾主要研究李代數。950年，他和塞爾(Serre，J.P.)證明了用緊纖維對歐氏空間進行纖維表示是不可能的。他曾以“博雷爾結構”為基礎重建了史密斯理論，而且和穆爾(Moore，G.H.)一起發展了一個新的同調理論.1956年發表的“線性代數群”是一篇經典性文獻，它使線性代數群的發展發生了歷史性轉折.他和謝瓦萊(Chevalley，C.)等人為線性代數群建立了一般理論。他還解決了算術群中的共緊性(Co-Compactness)判別、商空間的緊化等問題。在最近20多年中，他在算術群上同調及其套用和多種上同調理論方面，在自守型、實與p進李群的無限維表示理論方面做了許多工作。現在代數群中有“博雷爾理論”、“博雷爾子群”和“博雷爾不動點定理”等。博雷爾在1978年獲荷蘭數學會的布勞威爾獎章，1991年獲美國數學會斯蒂爾獎，1992年獲國際巴爾扎恩(Balzan，E.)基金會頒發的巴爾扎恩獎。1983年，斯普林格出版社還出版了他的三卷本文集。
