半線性變換

半線性變換(semilinear transformation)是線性變換的推廣。設V與V′分別是域P與P′上的線性空間，ρ為P與P′的同構，若V與V′的映射φ滿足條件：1.對任意α，β∈V有φ(α+β)=φ(α)+φ(β)；2.對任意α∈V，a∈P有φ(aα)=aφ(α)，則稱φ為關於ρ的半線性映射，其中a表示ρ(a)。當V=V′，P=P′時，φ稱為半線性變換。當P=P′且ρ是恆等同構時，φ就是線性映射 。

定義

半線性變換

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半線性變換

半線性變換

稱除環上左向量空間到除環上左向量空間的一個映射為 半線性變換，如果：(1)是加群到加群的同態對應；(2)存在一個到上的同構對應，有

半線性變換

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如果需要明確指出，則將半線性變換記作。

半線性變換

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半線性變換

半線性變換

若是到上的一對一的、半線性變換，則易見是到上的一對一的、半線性變換而對應是環到上的同構對應 。

相關定理

命題1

半線性變換

半線性變換

半線性變換

半線性變換

設是除環D上左向量空間，若且R是二重傳遞環，則R在內的中心化子恰是。

定理1

半線性變換

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半線性變換

半線性變換

半線性變換

半線性變換

(唯一性定理) 是除環上左向量空間的稠密環；且有極小單側理想，若是環到上的一個同構對應，則必存在到上的一個一對一的、半線性變換，使。

定理2

半線性變換

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半線性變換

半線性變換

半線性變換

半線性變換

半線性變換

若把有極小單側理想的本原環表成除環上左向量空間上的稠密環，則在向量空間間必存在一個一對一的、半線性變換且。

命題2

設R是除環D上左向量空間M的二重傳遞線性變換環，則R是D上空間M的稠密環。

定理3

半線性變換

半線性變換

半線性變換

半線性變換

半線性變換

半線性變換

半線性變換

設是對偶空間，，而且，則空間之間必存在一個一對一的、半線性變換且有。