一摘要
有7個洞的曲面有12個區域兩兩相連，儘管林格和楊斯在1974年已經證明，但是一直沒有人構造出來。 王曉明王蕊珂構造，人民郵電出版社258頁。
二，十二色定理七）虧格7時有12個區域兩兩相連
公式N7==12，參見圖8，右上圖是外環平面圖，有6個區域兩兩相連，先上下對摺，再左右對摺，左右對摺時一段輕輕扭轉，使得區域1對著區域5,區域2對著區域6,區域3對著區域4。右下圖和左下圖是內環，上下對摺再左右對摺形成一個輪胎形狀，左右對摺時一端輕輕扭轉，使得區域7對摺區域11,區域8對著區域12,區域9對摺區域10。外部有6根柱子與外環相連，形成一個有7個洞的12個區域兩兩相連，王曉明虛構。 二， 證明部分在證明四色定理過程中，
Heawood的文章不僅僅指出，而且也給出了五色定理的一個證明，然而他沒有停留於此，Heawood繼續考慮其它一些想法，Heawood文章的主要後續成果是征對於可嵌入到球面的圖的最大色數問題。Heawood把注意力轉移到其它曲面上圖的色數確定問題上。三，虧格6時按照公式應該有12個區域兩兩相連。至今沒有人能夠畫出。對於非負整數k，設
χ（Sκ）=max{χ（G）}.
其中，max取遍嵌入到Sx的所有圖G,自Kempe的1879年的文章之後，大家都相信χ（Sò）=4，而在Heawood的1890年的文章之後，僅僅知道χ（Sò）=4，或者χ（Sò）=5.
1976年當Appel和Haken宣布其成果之後，確定了χ（Sò）=4(四色定理)。
在Heawood的1890年的文章中，他試圖獲得關於χ（Sκ）的一個公式，在其中k為正整數，事實上，他認為他已經做到了，然而，他所做的僅僅是獲得了χ（Sκ）的一個上界。
定理;對於每一個正整數k，
χ（Sκ）≤[(7+√1+48K))/2]
證明：（直接證法）設G為看嵌入到Sκ的一個圖，並且設
h=[(7+√1+48K)/2],
由h的定義可以證明：
6+12（k-1）/h=h-1
下面證明χ（G）≤h
在G的所有誘導子圖中，設H具有最大的最小度，根據定理：對每個圖G，
X(G)<1+max{S（H）}
其中，max取遍G的所有誘導子圖H。
可以得到X(G)≤1+δ(H),假設H的階為n，邊數為m，若n≤h，則δ（H）≤n-1，X(G)≤n≤h，因此我們可以假設n>h.
由於G可以嵌入到Sk，所以，H也能夠嵌入到Sk，因此由推論可知
K＞γ(H)≥m/6-n/2+1，
易見，m≤3n+6（k-1），因此nδ(H)≤Σdegu=2m≤6n+12（k-1）所以，
δ(H)≤6+12(k-1)/n≤6+12（k-1）/h=h-1。從而，X(G)≤1+δ(H)=h=[(7+√1+48k)/2]。
，結論成立。
證明這個公式對於所有整數k成立又花費了78年。數學家GerhardRingel和TedYoung對這個公式的證明發揮了最主要的作用。
