定義
勒讓德符號勒讓德符號 （有時為了印刷上的方便，寫成( a| p))有下列定義：
 勒讓德符號 | 如果  勒讓德符號 |
如果  勒讓德符號  勒讓德符號 | |
如果不存在整數 x，使得  勒讓德符號 |
如果( a| p) = 1， a便稱為二次剩餘(mod p)；如果( a| p) = −1，則 a稱為二次非剩餘(mod p)。通常把零視為一種特殊的情況。
a等於0、1、2、……時的周期數列( a| p)，又稱為 勒讓德數列，有時把{0,1,-1}的數值用{1,0,1}或{0,1,0}代替。
公式
勒讓德原先把他的符號定義為：
勒讓德符號歐拉在之前證明了這個表達式是≡ 1 (mod p)，如果 a是二次剩餘(mod p)，是≡ −1如果 a是二次非剩餘；這個結論現在稱為歐拉準則。
除了這個基本公式以外，還有許多其它( a| p)的表達式，它們當中有許多都在二次互反律的證明中有所使用。
勒讓德符號高斯證明了如果 ，那么：
勒讓德符號這是他對二次互反律的第四個、第六個，以及許多後續的證明的基礎。參見高斯和。
克羅內克的證明是建立了
勒讓德符號然後把 p和 q互換。
艾森斯坦的一個證明是從以下等式開始：
勒讓德符號把正弦函式用橢圓函式來代替，他也證明了三次和四次互反律。
其它公式
斐波那契數1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ……由遞推公式F= F= 1，F= F+ F定義。
如果 p是素數，則：
勒讓德符號例如：
勒讓德符號
勒讓德符號
勒讓德符號
勒讓德符號
勒讓德符號這個結果來自盧卡斯數列的理論，在素性測試中有所套用。
性質
勒讓德符號有許多有用的性質，可以用來加速計算。它們包括：
勒讓德符號（它是一個完全積性函式。這個性質可以理解為：兩個剩餘或非剩餘的乘積是剩餘，一個剩餘與一個非剩餘的乘積是非剩餘。）
勒讓德符號如果 a≡ b(mod p)，則
勒讓德符號
勒讓德符號這個性質稱為二次互反律的第一補充。
勒讓德符號這個性質稱為二次互反律的第二補充。一般的二次互反律為：
勒讓德符號如果 p和 q是奇素數，則
勒讓德符號( a| p)是一個狄利克雷特徵(mod p)。
計算例子
以上的性質，包括二次互反律，可以用來計算任何勒讓德符號。例如：
勒讓德符號
勒讓德符號
勒讓德符號
勒讓德符號
勒讓德符號
勒讓德符號
勒讓德符號
勒讓德符號相關函式
•雅可比符號是勒讓德符號的一個推廣，允許底數為合數，但底數仍然必須是奇數和正數。這個推廣提供了計算所有勒讓德符號的一個有效的方法。
•一個進一步的推廣是克羅內克符號，把底數的範圍延伸到一切整數。
合併圖冊