分圓類

分圓類(cyclotomic class)是一種等價類，設q為奇素數冪，w為有限域GF(q)的一個原根，若e為q-1的因子，q-1=ef，ε=w，則H=1，ε，ε，…，ε是GF(q)的乘法子群，將子群H的陪集Ha=Hw稱為分圓類，這裡a取0，1，…，e-1。

基本概念

分圓類

定義1 設q=ef+1為奇素數冪，F為q階有限域，，設w為F的本原元，ε=w 。令

分圓類

分圓類

則稱為e次 分圓類(cyclotomic classes)。

分圓類

分圓類

分圓類

分圓類

分圓類

由定義可知，是的f階乘法子群。而各e次分圓類則是的陪集。以下簡記H =。

定義2 設g=ef+1為奇素數冪，對0≤i，j≤e-1，令

分圓類

分圓類

分圓類

分圓類

稱為e階分圓數(cyclotomic number),當無需指明e時,也常將簡記為。

分圓類與差集的構作

分圓類

引理1(i)；

(ii)

分圓類

(iii)

分圓類

分圓類

(iv)

分圓類

分圓類

分圓類

引理2 若且唯若2∈時為奇數。

分圓類

由引理2可知，在這e個分圓數中，恰有1個為奇數，其餘e-1個均為偶數。

分圓類

引理3設g∈，則方程

分圓類

的解的個數恰為(i，0)。

定理1(Lehmer)設q=ef+1為奇素數冪，則分圓類H 為F的加法群中差集的充分必要條件是f為奇數且

分圓類

分圓類

當上述條件滿足時，H 是一個-差集。

分圓類

定理2(Lehmer) 設q=ef+1為奇素數冪，則為F的加法群中差集的充分必要條件是f為奇數且

分圓類

分圓類

當上述條件滿足時，D是一個-差集。