共軛曲線[機械中的共軛曲線]

共軛曲線是指兩構件上用以實現給定運動規律的連續相切的一對曲線，作為平面運動的一對共軛曲線與一對瞬心線（見瞬心）相同之處都是點接觸，但瞬心線之間是純滾動，而共軛曲線在接觸點處存在滑動。

正文

兩構件上用以實現給定運動規律的連續相切的一對曲線。曲線與尖點接觸可看作為共軛曲線的特例。齒輪傳動中一個齒輪推動另一個齒輪轉動和凸輪機構中凸輪推動從動件按要求的規律運動，都是依靠共軛曲線來完成的。單就齒輪傳動來說，通過做成齒廓的一對對共軛曲線可以得到滿足要求傳動比的轉動(如圓柱齒輪傳動)，或進行轉動與移動間的運動轉換（如齒輪與齒條傳動），也可獲得變速運動（如非圓齒輪傳動）等。
作為平面運動的一對共軛曲線與一對瞬心線（見瞬心）相同之處都是點接觸，但瞬心線之間是純滾動，而共軛曲線在接觸點處存在滑動。以共軛曲線作為構件廓線的共軛曲線機構，在傳遞運動的同時也一定存在有同樣運動規律的一對瞬心線。例如一對等速比傳動的圓柱齒輪，其瞬心線為相互滾動的一對節圓（見圖）。　一對共軛曲線在相對運動過程中互為包絡線。作為共軛曲線的基本條件，亦即保證兩曲線在嚙合過程連續相切的條件,是共軛曲線接觸點A處的相對速度v12與通過該點所作這對共軛曲線的公法線n-n垂直,如果這對共軛曲線是一對齒廓曲線，這個性質也稱作齒廓嚙合基本定律。公法線與兩輪中心連線的交點P為兩輪的瞬心,也稱為節點。
給出兩構件的運動要求和共軛曲線中的一條曲線，就可求出另一條曲線，常用的有包絡法和齒廓法線法。
包絡法 　根據一對共軛曲線在相對運動過程互為包絡線的原理，如果給定其中一條曲線K1及兩輪相對滾動的一對瞬心線(如圖中的兩節圓)使輪1對輪2作相對運動，即令輪2固定，節圓1在節圓 2上滾動，可得到K1在輪2上的一系列相對位置K1、K媷、K媹、…。這些曲線形成一個曲線族。作這個曲線族的包絡線K2，即使K2與曲線族中的每條曲線都相切，K2與K1即為一對共軛曲線。K2不僅可用圖解法求得，也可採用解析法。解析法首先是在輪1和輪2上分別加上兩個動標,在動標1上寫出曲線K1的方程f(x1,y1)=0，給出兩輪的轉角關係φ2=φ2(φ1)，然後用坐標轉換的方法求得K1在動標2上的曲線族方程f(x2,y2,φ1)=0，則包絡線方程即為

f(x2,y2,φ1)=0

齒廓法線法 　這種方法比包絡法方便些。其實質是滿足齒廓嚙合基本定律的運動法，即過共軛曲線接觸點的公法線必須通過節點P。齒廓法線法也可用圖解法或解析法。用圖解法求解時，在已知曲線K1上任取一點Μ1，過Μ1作K1的法線Μ1P1交節圓 1於P1點。由於P1不是節點，因此Μ1不是接觸點。但將輪1轉過φ1角後，法線Μ1P1轉到ΜP位置，顯然Μ點就是K1上Μ1點的接觸位置。由於兩節圓存在滾動的關係，在輪1轉φ1角的同時輪2轉φ2角，因此可找到與Μ1對應的K2上的Μ2點。這兩點都轉到Μ點位置接觸。用這種方法在齒廓1上給出一系列的Μ1點，就可找出一系列對應的Μ點和Μ2點。連線這一系列Μ2點即得K2曲線；連線這一系列Μ點所得的曲線稱作嚙合線，它是這對共軛曲線的接觸點在固定坐標繫上的軌跡，如曲線。
一對共軛曲線也可通過第三條曲線來獲得，如曲線3分別與曲線1和曲線2共軛,則1、2兩條曲線一定也能共軛。用齒條型刀具加工一對齒輪是其套用實例。
評價一對共軛曲線的優劣，除滿足運動要求外，還應考慮嚙合特性，如壓力角、滑動率、誘導曲率和有無干涉等。
一對共軛曲線的曲率計算可以套用歐拉－薩伐里公式：式中r1和r2為輪1和輪2的節圓半徑，β如圖所示，l即圖中的PA長，ρ1、ρ2為K1、K2在接觸點A的曲率半徑，已知ρ1可求得ρ2。當曲線為內凹時，ρ為負值。為了避免產生曲率干涉,應使誘導曲率。
參考書目
Ф.Л.李特文著，盧賢占等譯:《齒輪嚙合原理》第二版,上海科學技術出版社，上海，1984。(Ф.Л.Литвин，Τеориязубчаmыхэацеплений， Изд． Науκа，Μосκва，1968.)