共軛曲線[數學中的共軛曲線]

概念

共軛曲線[數學中的共軛曲線]

如果在兩條曲線之間可以建立一個點對應，使得在對應點這兩條曲線有公共的主法線，則稱這兩條曲線為共軛曲線。如果一條曲線有不與自身重合的共軛曲線，則稱其為Bertrand曲線。互為共軛的曲線 之間距離為常數，且在對應點間的切線成定角。

設計共軛曲線機構的圖解法

包絡法

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已知實現給定運動規律的瞬心線 、 及共軛曲線中的一條曲線 ，求 。這相當於由 、 求 、 的逆過程。

圖1

共軛曲線[數學中的共軛曲線]

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設 相對 滾動（圖1），其角速度分別為 、 ，套用反轉法，給整個機構繞 的反轉角速度 ，則 固定， 沿 滾動，如圖1表示 連同 滾到 、 等位置。此時： ，與 固結的 。

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構想 沿 滾動至無數點接觸，相應地有無數條曲線 、 、 、 ，這些 曲線的包絡線即為曲線 。由此可知，已知 、 和共軛曲線 、 中的一條，可利用包絡原理求出與其共軛的另一條，故共軛曲線機構常稱為包絡線機構。注意圖1中法線 過點 、 過點 、 ， 常值。

法線法

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設給定瞬心線 、 的中心距 、傳動比 及共軛曲線中的一條曲線 ，求作嚙合線及 。

圖2

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如圖2，建立三個坐標系：定坐標系 或 ，分別與 、 一起轉動的動坐標系 或 、 或 三個坐標的始位相互平行。起始時 上點 進入嚙合，法線 過點 。設 轉過角 ，由 可知 轉過 ，此時 轉到圖示的 ， 的法線 亦過點 ，故點 進入嚙合。 為嚙合點畫在 上的軌跡，稱為嚙合線； 、 、 等嚙合點畫在動坐標系 上的軌跡即為所求曲線 ，圖示 為始位。注意 等嚙合點畫在 上的軌跡就是曲線 。