簡介
在同圓內，四邊形的四個頂點均在同一個圓上的四邊形叫做圓內接四邊形，擁有很多有用的性質。
性質定理
以圓內接四邊形ABCD為例，圓心為O，延長AB至E，AC、BD交於P，則：
▶圓內接四邊形的對角互補：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°
▶圓內接四邊形的任意一個外角等於它的內對角：∠CBE=∠ADC
▶圓心角的度數等於所對弧的圓周角的度數的兩倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB
▶同弧所對的圓周角相等：∠ABD=∠ACD
▶圓內接四邊形對應三角形相似：△ABP∽△DCP（三個內角對應相等 ）
▶相交弦定理：AP×CP=BP×DP
▶托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD
判定定理編輯
1、如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形內接於一個圓；
2、如果一個四邊形的外角等於它的內對角，那么這個四邊形內接於一個圓；
3、如果一個四邊形的四個頂點與某定點等距離，那么這個四邊形內接於以該點為圓心的一個圓；
4、若有兩個同底的三角形，另一頂點都在底的同旁，且頂角相等，那么這兩個三角形有公共的外接圓；
5、如果一個四邊形的張角相等，那么這個四邊形內接於一個圓；
面積計算編輯
S圓內接四邊形=√[﹙p-a﹚﹙p-b﹚﹙p-c﹚﹙p-d﹚]，[p=1/2﹙a+b+c+d﹚]，此公式叫婆羅摩笈多公式。
熟悉海倫公式的可以看出，這和海倫公式三角形面積S=√[p ﹙p-a﹚﹙p-b﹚﹙p-c﹚] （p=1/2﹙a+b+c﹚）具有驚人的相似，其實海倫公式就是婆羅摩笈多公式d=0的特殊形式。
相關例題編輯
例題1
在圓內接四邊形ABCD中，AB=3，AD=5，BD=7，∠BDC=45°，則BC的長為？
答案
使用餘弦定理：BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cosA，解得∠A=120°，
因為：圓內接四邊形對角互補，
所以：∠C=60°，
使用正弦定理： BC÷sin∠BDC=BD÷sin∠C，
即BC÷[(√2)÷2]=7÷[(√3)/2]
所以：BC=(7√6)/3[2]
例題2：
在梯形ABCD中，AB//DC，AB>CD，K、M分別在AD、BC上，∠DAM=∠CBK，
求證：∠DMA=∠CKB（第二屆袓沖之杯國中數學競賽考題）
答案
證明：聯結KM與BC延長線上一點E。
因為：∠DAM=∠CBK
所以：AKMB四點共圓
因為：AB//DC
所以：∠DKM=∠MBA =∠DCE
所以：∠AKB=∠AMB，∠DKM=∠MBA
所以：CDKM四點共圓
所以：∠DKC=∠CMD
所以：∠CKB=∠DMA
