定義
三頂點都在一個圓周上的三角形，叫做這個圓周的 內接三角形，而這個圓周叫做該三角形的 外 接圓。任何一個三角形都有且僅有一個外接圓，外接圓的中心是三角形三邊 中垂線的交點；如果三角形是銳角三角形時，那么外接圓的中心在三角形的內部，如果是鈍角三角形時，那么外接圓的中心則在三角形的外部，在直角三角形時，外接圓的中心則是斜邊的中點。
三角形外接圓的半徑計算公式為：
內接三角形
內接三角形
內接三角形
內接三角形
內接三角形
內接三角形 內接三角形其中 是三角形的邊； 是半周長， 是三角形的面積； 分別是三角形的邊 所對的內角。
外切三角形：三邊都與一個圓相切的三角形叫做這個圓的外切三角形，而這個圓叫做該三角形的 內切圓。在任何一個三角形里，都能作且只能作一個內切圓，內切圓的中心O是三角形的 內角平分線的交點。三角形內切圓的半徑計算公式為：
內接三角形相關證明題舉例
1．如圖，已知在△ABC中，AD和BD分別平分∠BAC和∠ABC，延長AD交△ABC外接圓於E，連結BE，求證：BE=DE。
圖1證明： 如圖，
內接三角形
內接三角形
內接三角形
內接三角形說明: 三角形內角平分線的交點是三角形的 內心，所以本題可敘述為如下命題：“ 三角形一個角所對外接圓圓弧的中點到另外兩個角的頂點的距 離。等於它到這個三角形的內心的距離．”
2．如圖，已知圓O是△ABC的外接圓，AD⊥BC於D，AE平分∠BAC，交圓O於E，求證：AE平分∠OAD。
圖2證明: 如圖，連結OE。
內接三角形
內接三角形
內接三角形平分
內接三角形
內接三角形
內接三角形
內接三角形
內接三角形平分
說明: 圖中從頂點A引出的三條線段AO、AE、AD分別經過△ABC的 外心、 內心、 垂心，所以本題給出了聯繫三角形外心、內心、垂心的一個幾何性質。
3．如圖，已知H、O分別是△ABC的垂心和外心，OL⊥BC於L，求證：AH=2OL。
圖3證明： 如圖，作OM⊥AC於M，則M是AC的中點，連結ML。
內接三角形
內接三角形
內接三角形於 是 的中點，
內接三角形是△ABC的一條中位線，
內接三角形
內接三角形同理，
內接三角形
內接三角形 內接三角形
內接三角形
內接三角形又 LM是△ABC的中位線，
內接三角形
內接三角形 內接三角形
內接三角形說明: (1)構造兩個三角形相似，利用相似比來證等比式是本題證明的思路。
(2)本題可敘述為關於三角形垂心和外心的一個命題：“ 三角形垂心到 一個角的頂點的距離等於外心到這個角對邊距離的兩倍”。
相關定理
①三角形的外接圓有關定理：三角形各邊垂直平分線的交點，是外心。外心到三角形各頂點的距離相等。外心到三角形各邊的垂線平分各邊。
② 三角形的內切圓有關定理：三角形各內角平分線的交點，是內心。內心到三角形各邊的距離相等。三角形任一頂點到內切圓的兩切線長相等。三角形頂點到內切圓的切線長，是這點到圓心的距離與它圓外部分的比例中項。
