元邏輯

元邏輯學，以形式化的邏輯系統為研究對象的一門邏輯學科。主要研究形式語言、形式系統和邏輯演算的語法、語義及二者關係。與邏輯刻畫人們實際的、非形式化的思維過程不同，元邏輯研究邏輯本身的特徵。元邏輯是在希爾伯特的元數學概念及其形式主義數學的啟發下發展起來的。它所研究的問題中最重要的是有關邏輯系統的一致性問題、完全性問題、可判定性問題以及公理之間的獨立性問題等。已取得了很多成果，主要的有：
1、命題演算具有一致性、完全性和可判定性。一致性分別由波斯特和盧卡西維茨獨立地證明；完全性由盧卡西維茨證明；真值表則提供了判定任一命題屬於命題演算系統的可行方法。
2、一階謂詞演算具有完備性和一致性。完備性和一致性分別由哥德爾和希爾伯特所證明。丘奇則證明了對於一階演算來說，一般的判定問題是不可解的，但對於只包含一元函式的一階謂詞演算來說，存在著判定程式。
3、在元邏輯領域內最重要的成果是哥德爾的兩個不完全定理。第一不完全定理是說：一個足夠豐富即至少包含自然數的算術理論的形式系統是不完全的，而且不可能通過擴展它的公理基礎而完全化。第二不完全定理是說：包括算術理論在內的形式系統的一致性在該系統中也是不可證的。這兩個定理是哥德爾在《ＰＭ及其系統有關的形式不可判定命題》一文中提出的。