伽馬分布

伽馬分布

伽瑪分布(Gamma Distribution)是統計學的一種連續機率函式,是機率統計中一種非常重要的分布。“指數分布”和“χ2分布”都是伽馬分布的特例。 Gamma分布中的參數α稱為形狀參數(shape parameter),β稱為逆尺度參數(scale parameter)。

定義與概念

假設隨機變數X為等到第α件事發生所需之等候時間, 密度函式為

伽馬分布 伽馬分布
伽馬分布 伽馬分布
伽馬分布 伽馬分布

特徵函式為

均值與方差

伽馬分布的均值與方差分別為

伽馬分布 伽馬分布
伽馬分布 伽馬分布

變化趨勢

伽馬分布 伽馬分布

伽馬分布的機率密度函式和失效率函式取決於形狀參數的數值。

伽馬分布 伽馬分布
伽馬分布 伽馬分布

當時,為遞減函式;

伽馬分布 伽馬分布
伽馬分布 伽馬分布

當時,為遞增函式;

伽馬分布 伽馬分布
伽馬分布 伽馬分布

當時,為單峰函式;

伽馬分布的特性

Gamma的可加性

兩個獨立隨機變數X和Y,且X~Ga(a,γ),Y~Ga(b,γ),則Z = X+Y ~ Ga(a+b,γ)。注意X和Y的尺度參數必須一樣。

數學表達式

若隨機變數X具有機率密度

其中α>0,β>0,則稱隨機變數X服從參數α,β的伽馬分布,記作G(α,β).

伽馬分布 伽馬分布

Gamma分布的特殊形式

當形狀參數α=1時,伽馬分布就是參數為γ的指數分布,X~Exp(γ)

當α=n/2,β=1/2時,伽馬分布就是自由度為n的卡方分布,X^2(n)

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