伽馬分布

伽瑪分布（Gamma Distribution）是統計學的一種連續機率函式，是機率統計中一種非常重要的分布。“指數分布”和“χ2分布”都是伽馬分布的特例。 Gamma分布中的參數α稱為形狀參數（shape parameter），β稱為逆尺度參數（scale parameter）。

定義與概念

假設隨機變數X為等到第α件事發生所需之等候時間, 密度函式為

伽馬分布

伽馬分布

伽馬分布

特徵函式為

均值與方差

伽馬分布的均值與方差分別為

伽馬分布

伽馬分布

變化趨勢

伽馬分布

伽馬分布的機率密度函式和失效率函式取決於形狀參數的數值。

伽馬分布

伽馬分布

當時，為遞減函式；

伽馬分布

伽馬分布

當時，為遞增函式；

伽馬分布

伽馬分布

當時，為單峰函式；

伽馬分布的特性

Gamma的可加性

兩個獨立隨機變數X和Y，且X~Ga(a,γ），Y~Ga(b,γ），則Z = X+Y ~ Ga(a+b,γ）。注意X和Y的尺度參數必須一樣。

數學表達式

若隨機變數X具有機率密度

其中α>0,β>0,則稱隨機變數X服從參數α，β的伽馬分布，記作G(α,β).

伽馬分布

Gamma分布的特殊形式

當形狀參數α=1時，伽馬分布就是參數為γ的指數分布，X~Exp（γ）

當α=n/2，β=1/2時，伽馬分布就是自由度為n的卡方分布，X^2(n)